3. 3.2函数的极值与导数
课前预习学案
一、预习目标
了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值
二、预习内容
已知函数 f(x)=2x3?6x2?7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容 课内探究学案
一、学习目标
1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系 2.会利用导数求函数的极值
学习重难点：导数与函数极值的关系。 二、学习过程 (一)知识回顾：
1、已知函数 f(x)=2x3?6x2?7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
2、观察图像，哪些是极大值? 哪些是极大值点? 哪些是极小值? 哪些是极
小值点?
f(x4)f(x1)
概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?
什么是极值 极大值: 极大值点: 极小值: 极小值点： 极值：
思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗？ 2.函数的极值是不是唯一的？
3.极大值一定比极小值大吗？举例说明.
4.点是极值点是在该 点的导数为0的什么条件？举例说明 5.判别f(x0)是极大、极小值的方法是怎样的？
6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.
13（二）探究一、例1．（课本例4）求f?x??x?4x?4的极值 3探究二、例2求y=(x2－1)3+1的极值 探究三、例3 设f(x)?ax3?bx2?cx，在x?1和x??1处有极值，且f(?1)=－1,求a，b，c的值，并求出相应的值。 （三）反思总结
请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤： (四)当堂检测
11、 已知函数f?x??x3?4x?4，
3（1）求函数的的极值并画出函数的大致图像， （2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
2、 求f（x）＝x3－3 x2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小值.
课后练习与提高
1、下列说法正确的是( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
32
C.对于f(x)=x+px+2x+1，若|p|＜6，则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
3
2、函数y=1 +3x－x有( )
A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D 极小值－1，极大值3
3求函数y=x3－27x的极值
说一说，这节课你学到了什么？
§3.3.2函数的极值与导数
一、教学目标
知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤；
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 三、教学过程： 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析
我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法 发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。 1、有关概念
(1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 (2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 (3).极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间
无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，x1是极大值点，
x4是极小值点，而f(x4)>f(x1) （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值） (3)检查 f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值 （三）合作探究、精讲点拨。
例1．（课本例4）求f?x??解： 因为f?x??13x?4x?4的极值 313x?4x?4，所以f'?x??x2?4?(x?2)(x?2)。 3令f'?x??0，得x?2,x??2 下面分两种情况讨论：
（1）当f'?x?>0,即x?2，或x??2时；（2）当f'?x?<0,即?2?x?2时. 当x变化时， f'?x?，f?x?的变化情况如下表： ???,2? + ↗ —2 0 极大值(-2,2) － 2 0 x ?2,??? + y? y 因此，
28 3↘ 极小值?4 3↗ f极大值(x)=f(?2)?28；
34 f极小值(x)=f(2)??。
31函数f?x??x3?4x?4的图像如图所示。
3例2求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x ???,?1? -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 ?1,???
高中数学选修11人教A教案导学案函数的极值与导数
