高三数学一轮复习
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
x2y22
1．(2018·惠州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交
ab2椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝2. (1)求椭圆C的方程；
1?
(2)当λ∈??2，2?时，求弦长|AB|的取值范围． 解 (1)由已知e＝
2c2，得＝，① 2a2
∵当直线垂直于x轴时，|AB|＝2， ∴椭圆过点?1，2?， 2??
11
代入椭圆方程得2＋2＝1，②
a2b又a2＝b2＋c2，③
联立①②③可得a2＝2，b2＝1， x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
2
2＋1|MA|
(2)当过点M的直线的斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋
|MB|2－12－1|MA|1
22>2或λ＝＝＝3－22<，不符合题意．
|MB|22＋1
1
高三数学一轮复习 ∴直线l的斜率不能为0.
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线的方程代入椭圆方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 显然方程有两个不同实数解． 由根与系数的关系可得
??y1＋y2＝－2m
?m2＋2
， ④
??
y1y2
＝－1m2
＋2， ⑤
将④式平方除以⑤式可得y1y24m2
y2＋y1＋2＝－m2＋2，
由已知|MA|＝λ|MB|可知，y1
y2＝－λ，
－λ－14m2
∴λ＋2＝－m2＋2
，
又知λ∈?1?2，2??，∴－λ－1
λ＋2∈??－12，0??， ∴－12≤－4m2
＋2?m?0，27?2≤0，解得m2∈?. |AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2 ＝(1＋m2)『(y1＋y2)2－4y1y2』
?m2＝8?＋1?2
??m2＋2??
＝8??1－1?m2＋2??2
，
∵m2∈??0，27??，∴1?7m2＋2∈?16，12??， ∴|AB|∈??
2，
928??
. 2．(2018·新余联考)如图所示，已知点E(m,0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点． (1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值； (2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
2
高三数学一轮复习
(1)解 当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点， ∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，
直线AB的方程为y＝k1(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＝k1?x－1?，由?
2??y＝4x，
得k1y2－4y－4k1＝0，
4
显然方程有两不等实根，y1＋y2＝，y1y2＝－4，
k1∵AB的中点为M?
?x1＋x2y1＋y2?
?，
?2，2?
y1y24
x1＋x2＝＋1＋＋1＝2＋2.
k1k1k122?＋1，∴M?k?， ?k2
1
1
同理，点N(2k21＋1，－2k1)． 1
∴S△EMN＝|EM|·|EN|
21＝ 2＝2?22?2＋?2?2·?2k222
1?＋?－2k1? kk?1??1?
1
k21＋2＋2≥2k1
2＋2＝4，
1当且仅当k21时，△EMN的面积取最小值4. 1＝2，即k1＝±k1(2)证明 直线AB的方程为y＝k1(x－m)，
??y＝k1?x－m?，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?
2＝4x，y??
得k1y2－4y－4k1m＝0，显然方程有两不等实根． 4
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
k1∵AB的中点为M?
?x1＋x2y1＋y2?
?，
?2，2?
y1y2
x1＋x2＝＋m＋＋m
k1k1
3
高三数学一轮复习 4k14
＝＋2m＝2＋2m， k1k122?∴M?2＋m，k?， ?k
1
1
22
＋m，?， 同理，点N?2
k??k
2
2
k1k2
∴kMN＝＝k1k2，
k1＋k2
2?22＋m??， ∴直线MN：y－＝k1k2?x－??k1??k1即y＝k1k2(x－m)＋2， ∴直线MN恒过定点(m,2)．
3．(2017·衡水联考)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求证：y1y2为定值；
(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，请说明理由． (1)证明 方法一 当直线AB垂直于x轴时， y1＝22，y2＝－22， 因此y1y2＝－8(定值)． 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，
??y＝k?x－2?，
由?得ky2－4y－8k＝0. ?y2＝4x，?
∴y1y2＝－8.
因此有y1y2＝－8，为定值． 方法二 显然直线AB的斜率不为0. 设直线AB的方程为my＝x－2，
??my＝x－2，由?得y2－4my－8＝0. ??y2＝4x，
4
高三数学一轮复习 ∴y1y2＝－8，为定值．
(2)解 设存在直线l：x＝a满足条件， 则AC的中点为E?|AC|＝
?x1＋2y1?
?，
?2，2?
2. ?x1－2?2＋y1
因此以AC为直径的圆的半径 11
r＝|AC|＝22
12＝?x1－2?2＋y1
2
x21＋4，
又点E到直线x＝a的距离d＝?故所截弦长为 2＝＝
r2－d2＝2
?x1＋2?
?
?2－a?
12?x1＋2?2?x1＋4?－?? 4?2－a?
2＋4－?x＋2－2a?2 x11
－4?1－a?x1＋8a－4a2.
当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1. 4．已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论． x2y2
解 (1)由题意知，椭圆C的标准方程为＋＝1，
42所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2. c2
故椭圆C的离心率e＝＝.
a2
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. →→
因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0， 2y0即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. x0
5
高三数学一轮复习课时作业6：高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
