B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
11－＋1＋Δx11
解析：选A.f′(1)＝lim ＝lim ＝1，则在(1，－1)处的切线方程
Δx→0Δx→01＋ΔxΔx为y＋1＝x－1，即y＝x－2.
3．函数y＝x＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________. （x0＋Δx）＋4（x0＋Δx）－x0－4x0
解析：2＝lim
Δx→0Δx＝2x0＋4， 所以x0＝－1. 答案：－1
4．曲线y＝2x＋1在点P(－1，3)处的切线方程为________． Δy2（－1＋Δx）－2×（－1）
解析：＝＝－4＋2Δx，
ΔxΔx所以f′(－1)＝－4，y－3＝－4(x＋1)， 所以切线方程为y＝－4x－1. 答案：y＝－4x－1
2
2
2
2
2
2
[学生用书P103(单独成册)]
[A 基础达标]
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 答案：C
π2
2．在曲线y＝x上切线倾斜角为的点是( )
4A．(0，0)
B．(2，4)
?11?C.?，? ?416?
解析：选D.因为y＝x，
2
2
?11?D.?，? ?24?
2
Δy（x＋Δx）－x所以k＝y′＝lim ＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x，
Δx→0ΔxΔx→0Δx→0Δxπ11
所以2x＝tan ＝1，所以x＝，则y＝.
424
12
3．若曲线y＝x上点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P的切线方程为( )
2A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
1
解析：选A.与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
2（x＋Δx）－x由y＝x知，y′＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x.
Δx→0Δx→0Δx2
2
2
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
1
所以过P(1，1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
24．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( ) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：选A.因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0.
5．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点P(1，3)，则b等于( ) A．3 B．－3 C．5
D．－5
3
解析：选A.因为点P(1，3)既在直线上又在曲线上， 所以3＝k＋1，且3＝1＋a＋b， 即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义知y＝x＋ax＋b的导数为y′＝3x＋a， 所以3×1＋a＝k，所以a＝－1，b＝3.
6．已知函数y＝ax＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．
2
2
3
2
baa（1＋Δx）2－a2
解析：lim ＝lim (a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×1＋b，
Δx→0Δx→0Δx所以b＝2，即＝2.
ba答案：2
7．已知曲线y＝3x，则在点A(1，3)处的曲线的切线方程为________． Δy3（1＋Δx）－3×1
解析：因为＝＝6＋3Δx，
ΔxΔx所以y′|x＝1＝lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
2
2
2
所以曲线在点A(1，3)处的切线斜率为6.
所以所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0. 答案：6x－y－3＝0
1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
2＝________．
111
解析：因为f(1)＝＋2＝2，f′(1)＝，
22211
所以f(1)＋f′(1)＝2＋＝3.
22答案：3
9．曲线y＝－x＋4x上有两点A(4，0)，B(2，4)． 求：(1)割线AB的斜率kAB； (2)点A处的切线的斜率； (3)点A处的切线方程． 4－0
解：(1)kAB＝＝－2.
2－4
－（x＋Δx）＋4（x＋Δx）＋x－4x(2)f′(x)＝lim
Δx→0Δx－2x·Δx－（Δx）＋4Δx＝lim Δx→0Δx＝lim (－2x＋4－Δx)＝－2x＋4，
Δx→0
2
2
2
2
所以点A(4，0)处的切线的斜率
k＝f′(4)＝－2×4＋4＝－4.
(3)点A处的切线方程为y＝－4(x－4)，即4x＋y－16＝0. 10．已知抛物线y＝x＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
?y＝x＋4，?2解：(1)由?得x＋4＝10＋x，
??y＝x＋10，
2
2
即x－x－6＝0，
2
所以x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或y＝13. 所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13)． (2)因为y＝x＋4，
（x＋Δx）＋4－（x＋4）
所以y′＝ lim
Δx→0Δx（Δx）＋2x·Δx＝ lim＝ lim (Δx＋2x)＝2x. Δx→0Δx→0Δx所以y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6. 所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0； 在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
[B 能力提升]
11．曲线y＝f(x)＝x在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1) C．(2，8) 1??1
D.?－，－?
8??2
解析：选B.设点P的坐标为(x0，y0)，
33
f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）－x0
则k＝f′(x0)＝lim ＝lim
Δx→0Δx→0ΔxΔx3
2
2
2
2
＝lim [(Δx)＋3x0＋3x0·Δx]＝3x0.
Δx→0
222
因为k＝3，所以3x0＝3， 所以x0＝1或x0＝－1， 所以y0＝1或y0＝－1.
所以点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
12．已知f(x)＝x＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1.从而切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
答案：2
13．已知曲线y＝2x＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y＝－2x＋3垂直？并写出该点的切线方程．
2
2
Δy2x＋Δx＋1－2x－1
解：y′＝lim ＝lim
Δx→0ΔxΔx→0Δx2（x＋Δx－x）21
＝lim ＝＝ . Δx→0
Δx（x＋Δx＋x）2xx设切点坐标为(x0，y0)，依题意
y′|x＝x0＝
1
1
＝， x02
所以x0＝4，y0＝24＋1＝5， 1
所以切线方程为y－5＝(x－4)．
2即x－2y＋6＝0.
所以曲线在点(4，5)处的切线与直线y＝－2x＋3垂直． 所求切线方程为x－2y＋6＝0.
14．(选做题)设函数y＝f(x)＝x＋ax－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)＋a(x0＋Δx)－9(x0＋Δx)－1－(x0＋ax0－9x0－1) ＝(3x0＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)， Δy22
所以＝3x0＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx).
Δx当Δx无限趋近于零时， Δy2
无限趋近于3x0＋2ax0－9. Δx即f′(x0)＝3x0＋2ax0－9，
2
2
2
3
3
2
3
2
3
2
a?a?所以f′(x0)＝3?x0＋?－9－. 3?3?
当x0＝－时，f′(x0)取得最小值－9－. 33因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， 所以该切线斜率为－12. 所以－9－＝－12. 3解得a＝±3.又a<0， 所以a＝－3.
2
2
aa2
a2
2019 - 2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学案新人教B版选修1 - 1
