3．1.3 导数的几何意义
1.了解割线的斜率与平均变化率的关系． 2.理解导数的几何意义． 3.会
求曲线的切线方程．
[学生用书P48]
1．割线的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A、B两点割线的Δyf（x0＋Δx）－f（x0）斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
ΔxΔx2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝lim__Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0）．
Δx
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)f′(x0) (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2．已知曲线y＝f(x)＝2x上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为( ) A．4 C．8 答案：C 3．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么曲线y＝ B．16 D．2 2 f(x)在点A处的切线方程是________． 答案：x＋y－3＝0 4．已知函数f(x)＝x＋2，则f′(2)＝________． （2＋Δx）＋2－2－2 解析：f′(2)＝lim Δx→0Δx（2＋Δx－2）[（2＋Δx）＋（2＋Δx）·2＋2] ＝lim Δx→0Δx2 2 3 3 3 ＝lim [4＋4Δx＋(Δx)＋4＋2Δx＋4] Δx→0 2 ＝lim [12＋6Δx＋(Δx)]＝12. Δx→0 2 答案：12 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程[学生用书P48] 138 如图，已知曲线y＝x上一点P(2，)． 33 求：(1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程． 13 【解】 (1)因为y＝f(x)＝x， 3所以当x0＝2时，y′＝lim Δx→0 Δy Δx1133 （2＋Δx）－×233 ＝lim Δx→0Δx13×2Δx＋3×2（Δx）＋（Δx）＝lim 3Δx→0Δx122＝lim[3×2＋3×2Δx＋(Δx)] 3Δx→0＝2＝4. 所以f′(2)＝4，即点P处的切线的斜率为4. 8 (2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)， 3即12x－3y－16＝0. 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，得到切线的斜率k＝f′(x0)． (2)①根据直线的点斜式方程，得到切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． ②如果切线平行于y轴，则切线方程为x＝x0. 2 2 2 3 2 求曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程． x2 解：因为y＝， x22 －x＋Δxxf（x＋Δx）－f（x） 所以y′＝lim ＝lim Δx→0Δx→0ΔxΔx－2·Δxx（x＋Δx）2 ＝lim ＝－2， Δx→0Δxx因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率 k＝－ 21 2＝－. （－2）2 1 由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)， 2即x＋2y＋4＝0. 求过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程[学生用书P49] 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x相切的直线方程． Δy2（x＋Δx）－（x＋Δx）－2x＋x【解】 y′＝lim ＝lim Δx→0ΔxΔx→0Δx＝lim [2－3x－3xΔx－(Δx)]＝2－3x. Δx→0 2 2 2 3 3 3 设切点坐标为(x0，2x0－x0)， 则切线方程为y－2x0＋x0＝(2－3x0)(x－x0)． 又切线过点(－1，－2)， 所以－2－2x0＋x0＝(2－3x0)(－1－x0)， 332 即2x0＋3x0＝0，所以x0＝0或x0＝－. 2 3 23 2 3 ?33?所以切点坐标为(0，0)或?－，?. ?28? ?33?当切点坐标为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x；当切点坐标为?－，?时，?28? 1919 切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0. 44 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0. 求过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线 3 方程的步骤 (1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程． (2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程． 1 求过点A(2，0)且与曲线y＝相切的直线方程． x解：易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由 11 － x0＋Δxx01 y′|x＝x0＝Δlim ＝－2， x→0Δxx0 1 得所求直线方程为y－y0＝－2(x－x0)． x0 由点(2，0)在直线上，得x0y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1， 所求直线方程为x＋y－2＝0. 求切点坐标[学生用书P49] 4 在曲线y＝f(x)＝2上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件． 2 x(1)倾斜角为135°； (2)平行于直线y＝x＋1. 【解】 设点P的坐标为(x0，y0)，则 444x0－4（x0＋Δx）－8x0Δx－4（Δx） Δy＝－＝， 22＝22 （x0＋Δx）x0x2x20（x0＋Δx）0（x0＋Δx）Δy－8x0－4ΔxΔy8x08所以＝2＝－4＝－3， 2，所以lim Δx→0ΔxΔxx0（x0＋Δx）x0x08即f′(x0)＝－3. 2 2 2 x0 (1)因为切线的倾斜角为135°， 所以f′(x0)＝tan 135°＝－1， 8 所以－3＝－1，所以x0＝2，则y0＝1，即P(2，1)． x0 8 (2)因为切线与直线y＝x＋1平行，所以由导数的几何意义知f′(x0)＝1，即－3＝1， x0 所以x0＝－2，则y0＝1，即P(－2，1)． 在本例条件下，求切线垂直于直线2x－16y＋1＝0的切点P的坐标． 2??解：设P(x0，y0)，因为切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，所以有f′(x0)·?－?＝?－16? 81 －1，即－3·＝－1，解得x0＝1，则y0＝4，即P(1，4)． x08 求曲线切点坐标的步骤 (1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0)． (2)求斜率：求切线的斜率f′(x0)． (3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标． 1 已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) 42 A．1 C．3 B．2 D．4 2 2 x2 （x＋Δx）x－44x解析：选A.切线的斜率k＝lim ＝， Δx→0Δx2 x1 则＝，所以x＝1，即切点的横坐标为1. 22 1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用． 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 C．与x轴垂直 B．与x轴平行或重合 D．与x轴相交但不垂直 解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零． 1 2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为( ) xA．y＝x－2
2019 - 2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学案新人教B版选修1 - 1
