一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难） 1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值． 【答案】(1)1；(2)3． 【解析】 【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值． 【详解】
解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0， ∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0， ∴(x+y)2+(y+1)2=0， ∴x+y=0，y+1=0， 解得，x=1，y=?1， ∴2x+y=2×1+(?1)=1； (2)∵a?b=4， ∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2?6c+13=0，得 b2+4b+c2?6c+13=0， ∴(b2+4b+4)+(c2?6c+9)=0， ∴(b+2)2+(c?3)2=0， ∴b+2=0，c?3=0， 解得，b=?2，c=3， ∴a=b+4=?2+4=2， ∴a+b+c=2?2+3=3． 【点睛】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.
2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a?3ab?2b??a?2b??a?b?．请回答下列问题：
22
（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的
y的式子表示) ； 面积，你能发现什么?(用含有x， （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
2222【答案】（1）(2a?b)(a?2b)?2a?2b?5ab；（2）(x?y)?(x?y)?4xy；
（3）大 小 【解析】 【分析】
（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
22（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy?(x?y)?(x?y)，得到被减数
一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【详解】
22（1）看图可知，(2a?b)(a?2b)?2a?2b?5ab 22（2）(x?y)?(x?y)?4xy
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】
本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，
B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一
张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：s?____________________；方法2：s?________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：?a?b?,a2?b2,ab之间的等量关系． _______________________________________________________； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a?b?5,a?b?11，求ab的值；
②已知?2020?a???a?2019??5，则?2020?a??a?2019?的值是____．
22222【答案】（1）?a?b?，a2?2ab?b2；（2）?a?b??a2?2ab?b2；（3）①ab?7，②?2 【解析】 【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x，a-2019=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，
22?x?y?即可得出xy=
【详解】
2?(x2?y2)=
?2，进而得到?2020?a??a?2019?=?2．
22解：（1）图2大正方形的面积=?a?b?，图2大正方形的面积=a2?2ab?b2 故答案为：?a?b?，a2?2ab?b2；
（2）由题可得?a?b?，a2?b2，ab之间的等量关系为：?a?b??a2?2ab?b2故答案为：?a?b??a2?2ab?b2； （3）①
2222?a?b?2??a2?b2??2ab
?2ab?52?11?14
?ab?7
②设2020-a=x，a-2019=y，则x+y=1， ∵?2020?a???a?2019??5，
22
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
?x?y?∴xy=
2?(x2?y2)=-2
，
2即?2020?a??a?2019???2． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a+3ab+2b
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
2
2
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20． 【解析】 【分析】
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）
2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解． 【详解】
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20， ∴S阴影=a2+b2﹣=
11（a+b）?b﹣a2 2212121a+b﹣ab 22213=（a+b）2﹣ab
2213=×102﹣×20
22=50﹣30 =20． 【点睛】
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.
5．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数abc （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
【答案】（1）详见解析；（2）99或297． 【解析】 【分析】
（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可. 【详解】
（1）证明：∵abc为欢喜数， ∴a+c=b．
∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除， ∴11b能被99整除，99a能被99整除， ∴“欢喜数abc”能被99整除；
（2）设m=a1bc1，n=a2bc2（且a1＞a2），
苏州苏州国际外语学校数学整式的乘法与因式分解中考真题汇编[解析版]
