§9.3 椭圆
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.已知椭圆+=1的一个焦点为(0,),则m=( )
??22A.1 B.2 C.3 D. 49
??2??2
1
答案 D
2.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的
??
????2??2
√33
周长为4√3,则C的方程为( ) A.+=1 B.+y=1
3
2
3
??2??2
??2
2
C.12+8=1 D.12+4=1 答案 A
3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( )
4
3??2??2
??2??2??2??2
A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A
4.椭圆+=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是 .
925??2??2
答案 (-3,0)或(3,0) 考点二 椭圆的几何性质
5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( ) A.3 B.3 C.4 D.答案 D
6.设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为
??
????2??2
1
√3√32√2 3
( )
A. B. C. D. 3
2
√36
1
1
√33
答案 D
7.设椭圆的方程为??2+??2=1(??≥
22??1+??2的取值范围是( )
3
3
??2??2
√3a2
>0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则
2
A.(0,2] B.(1,2] C.(1,4] D.(1,4] 答案 D
考点三 直线与椭圆的位置关系
8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆2+y=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为( )
??2
2
37
A. B. C. D. 2
5
√22√55
11
答案 B
9.椭圆25+16=1的左,右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为( ) A. B. 3
3
5
10
??2??2
C.
√10 3
D.3
??2??2
√5答案 A
10.已知P(1,1)为椭圆4+2=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为 . 答案 x+2y-3=0
11.设F1,F2分别是椭圆C:??2+??2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为4,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析 (1)根据题意知F1(-c,0),M(??,??). 由kMN=得
4
2
??2??2
3
??2
3
??2-0??
??-(-??)4
2
=,
2
2
2
2
2
2
3
即2b=3ac,将b=a-c代入得2(a-c)=3ac,2c-2a+3ac=0, 2e+3e-2=0,解得e=2或e=-2(舍), 故C的离心率为2. (2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,????2
1
2
1
即b=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 2(-??-??1)=c,??1=-2c,{即{ -2??1=2,??1=-1.代入C的方程,得
9??24??
2+2=1.②
2
3
1
??
将①及c=√??2-??2代入②得
2
9(??2-4a)4??2+4??=1. 1
解得a=7,则b=4a=28.故b=2√7.
评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 与椭圆定义相关的问题
1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( ) A.8+6=1 B.16+6=1 C.+=1 D.+=1
4
2
8
4
??2??2
??2??2
??2??2
??2??2
答案 A
2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:??2+y=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2√3,则△PF1F2的周长是( ) A.2(√2+√3) B.4+2√3 C.√2+√3 D.√2+2√3 答案 A
3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交
4
3??2??2??2
2
椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( ) A. B.1 C. D.
3
5
4
4
4
3
答案 D
考法二 椭圆离心率问题的求法
4.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为( ) A.√2-1 B.
√2√5-1
2
C. D.√2+1 2
答案 A
5.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨
2
2??5??
道的离心率为( )
A.5 B.5 C.3 D.3 答案 A
6.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B分别为椭圆??2+??2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线
??
????? +????????? =λ(????????? +????????? ),则椭圆的离心率是( ) y=??x与椭圆在第一象限内的交点,若????
??2??2
2
1
2
1
A.C.
2√2+1 72√2-1
3
B.
2√2-1
7
D.√2-1
答案 A
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法
7.(2019北京清华中学生标准学术能力试卷文,6)已知椭圆2+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直
??
4??2??2
线交椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为3,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 2
9
√22
√53
1
5
28
答案 B
8.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为??2+??2=1(a>b>0). 由题意得{??
??=2,=??
√3
,2
??2??2
√32
解得c=√3.
222
所以b=a-c=1.
所以椭圆C的方程为4+y=1. (2)证明:设M(m,n), 则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0. 直线AM的斜率kAM=
????+2??2
2
, . (x-m). 故直线DE的斜率kDE=-
??+2??
所以直线DE的方程为y=-直线BN的方程为y=
??=-??+2??
??
??+2??
2-??
(x-2). (x-m),
联立{ ??
??=2-??(x-2),解得点E的纵坐标yE=-4-??2+??2. 由点M在椭圆C上,得4-m=4n. 所以yE=-5n. 4
2
2
??(4-??2)
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,
2
5
12
S△BDN=|BD|·|n|,
2
1
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
【五年高考】
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
2
3
2
4
3
5
4
??2
2
??2??2??2??2??2??2
答案 B
2.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三
3620??2??2
角形,则M的坐标为 . 答案 (3,√15)
3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距
??
????2??2
离为c.
2
1
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)+(y-1)=2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
2
2
5
解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d=1
????√??2+??????
=, 2??
??√32
由d=2c,得a=2b=2√??2-??2,可得离心率??=2. (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x+4y=4b.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=√10. 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得
2222
(1+4k)x+8k(2k+1)x+4(2k+1)-4b=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-x1x2=
8??(2??+1)1+4??2
2
2
2
,
4(2??+1)-4??2
1+4??2
. 1+4??2由x1+x2=-4,得-解得k=2. 1
8??(2??+1)
=-4, 从而x1x2=8-2b.
2
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.3椭圆试题含解析
