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２０１２年全国高中数学联赛试题(A卷)word
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．
１． 设P是函数y?x?2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和y轴作垂线，x垂足分别为A,B，则PA?PB的值是 ．
解:方法1:设p(x0,x0?2),则直线PA的方程为 x0y?(x0?22)??(x?x0),即y??x?2x0?. x0x0?y?x11?由?2?A(x0?,x0?).
x0x0?y??x?2x0?x0?又B(0,x0?
２． 设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA?则
2111),所以PA?(,?),PB?(?x0,0).故PA?PB??(?x0)??1. x0x0x0x03c， 5tanA的值是 . tanB解:由题设及余弦定理得
c2?a2?b2b2?c2?a33a??b??c,即a2?b2?c2
2ca2bc55a2?c2?b282a?c222tanAsinAcosBc?a?b2ac5???22??4. 故22222b?c?atanBsinBcosAb?c?ac2b?52bc
３．设x,y,z?[0,1]，则M?|x?y|?|y?z|?|z?x|的最大值是 . 解:不妨设0?x?y?z?1,则M?因为y?x?z?y?z?x.
y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).
所以M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1. 当且仅当y?x?z?y,x?0,z?1,y?1时上式等号同时成立. 2学习必备 欢迎下载
故Mmax?
2?1.
?．设34.抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的两个动点，且满足?AFB?线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则
2|MN|
的最大值是 . |AB|
AF?BF.在?AFB中,由余弦定理得 2解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得MN? AB?AF?BF?2AF?BFcos ?(AF?BF)?3AF?BF
2222?3
2 ?(AF?BF)?3(AF?BF2) 2AF?BF22)?MN. ?(2 当且仅当AF?BF时等号成立.故
MN的最大值为1. AB5．设同底的两个正三棱锥P?ABC和Q?ABC内接于同一个球．若正三棱锥P?ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q?ABC的侧面与底面所成角的正切值是 ． 解:如图.连结PQ,则PQ?平面ABC,垂足H为正?ABC的中心,且PQ过球心O,连结CH并延长交AB于点M,则M为AB的中点,且CM?AB,易知?PMH,?QMH分别为正三棱锥
P?ABC,Q?ABC的侧面与底面所成二角
的平面角,则?PMH?45,从而PH?MH?因为?PAQ?90,AH?PQ,
1AH, 21AH?QH. 2QH?4 所以QH?2AH?4MH.,故tan?QMH?MH2所以AP?PH?QH,即AH?2
6. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式
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f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2??x(x?0)解:由题设知f(x)??2,则2f(x)?f(2x).
???x(x?0)因此,原不等式等价于f(x?a)?f(2x). 因为f(x)在R上是增函数,所以x?a?2x,即a?(2?1)x.
又x?[a,a?2],所以当x?a?2时,(2?1)x取得最大值(2?1)(a?2). 因此,a?(2?1)(a?2),解得a?故a的取值范围是[2,??).
2.
1?1?sin?的所有正整数n的和是 ． 4n3?3解:由正弦函数的凸性,有当x?(0,)时,x?sinx?x,
6???1?3?1 由此得sin??,sin???,
1313412?124??1?3?1 sin??,sin???.
101039?93?1???1? 所以sin??sin?sin?sin??sin.
134121110391?1 故满足?sin?的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.
4n3７．满足
８．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率
是 ．（用最简分数表示）
解:用Pk表示第k周用A种密码的概率,则第k周末用A种密码的概率为
11111?Pk.于是,有Pk?1?(1?Pk),k?N?,即Pk?1???(Pk?)
3434由P?是首项为1?1知，?Pk?所以Pk???1?4?31，公比为?的等比数列。 43131k?131161?(?)，即Pk?(?)k?1?，故P7? 443434243
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）
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已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（１）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （２）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围． 解:(1)f(x)?sinx?asinx?a?223. a3a4分
令t?sinx(?1?t?1),则g(t)?t?at?a?对任意x?R,f(x)?0恒成立的充要条件是
3?g(?1)?1??0??a?a?(0,1]?3?g(1)?1?2a??0?a?8分
a??1. 23所以g(t)min?g(?1)?1?a3因此f(x)min?1?.
a(2)因为a?2,所以?12分
于是,存在x?R,使得f(x)?0的充要条件是1?故a的取值范围是[2,3].
１０．（本小题满分２０分）
3?0?0?a?3. a16分
已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
(a1?a2?3?an)2?a13?a2?3?an
（１）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（２）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
23解:(1)当n?1时, a1?a1,由a1?0得a1?1.
23当n?2时,(1?a2)?1?a2,由a2?0得a2?2或a2??1………………5分 233当n?3时,(1?a2?a3)?1?a2?a3.
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若a2?2得a3?3或a3??2;若a2??1得a3?1;
综上,满足条件的三项数列有三个:
1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分 (2)令Sn?a1?a2?23?a13?a2??an,则Sn33?an?an?1.
3?an(n?N?)
233从而(Sn?an?1)?a1?a2?2两式相减,结合an?1?0得2Sn?an?1?an?1
当n?1时,由(1)知a1?1;
22当n?2时,2an?2(Sn?Sn?1)?(an?1?an?1)?(an?an),
即(an?1?an)(an?1?an?1)?0,
所以an?1??an或an?1?an?1……………………………………15分 又a1?1,a2013??2012,所以an??
１１．（本小题满分２０分）
如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （１）求证：|OA|?|OC|为定值；
（２）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求点C的轨迹．
22?n(1?n?2012)?2012?(?1)(n?2013)n…………20分
解:因为OB?OD,AB?AD?BC?CD,
所以O,A,C山的共线………………………………………5分 如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有
OA?OC?(OK?AK)(OK?AK)
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?OK?AK
?(OB?BK)?(AB?BK)
?OB?AB?62?42?20(定值)……………………………10分
(2)设C(x,y),A(2?2cos?,2sin?),其中???XMA(?则?XOC?222222222?2????2),
?2.
222因为OA?(2?2cos?)?(2sin?)?8(1?cos?)?16cos所以OA?4cos?2,
?2…………………………………………15分
由(1)的结论得OCcos所以x?OCcos从而y?OCsin?2?5,
?2?5. ?5tan?2?2?[?5,5].
故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别
为A(5,5),B(5,?5)…………………………………………………20分
全国高中数学联赛一试试题(A)及参考答案word版
