2024年华中农业大学植物科学技术学院314数学（农）考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编
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3110?5?13132?4?1?31． 试计算行列式
?521.青岛掌?心博阅┢┾电子书
3110?5?13132?4?1?3?5?110?5110?5?13131?100【答案】
?521511?51051210?=?11?5?1=?6?62?5?50?5?5?30?10?40.
??2??1??3??0?????????1?30???????1?2． 给定向量组α1=?2=3=4=，α，α，α?0??2??2??4?.试判断α4是否为α1，α2，α3の线性组合；若?????????3??4???1??9?是，则求出组合系数。青岛掌л心博?阅电子书 【答案】（1）
??2130??0?53?2??1?????1?30?11?30?10????????????0224??0112??0??????34?19??013?112??005??1??112?0?????0088???0?14?14??03035??1??0112??????0011???000??0002??101?,
011??000?所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 （2）考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即?2x?2x?423???3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
?0?22???3． 设矩阵A=??2?34?の全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
??4?3??2【答案】Aの属于特征值λ=1の2个线性无关の特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.
?25/5??25/15?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.
?0??5/3??????1??1/3?????λ=-8の一个特征向量为ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2???2/3?第 3 页，共 39 页
?25/5215/151/3????5/545/152/3??. T=所求正交矩阵为
?05/3?2/3??? www.handebook.com
?25/5215/151/3??100?????0?5/32/3010.??.） D=T=对角矩阵??（也可取
???5/5?45/15?2/3??00?8???
?423???4． 设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
????123?【答案】AB=A+2B即（A-2E）B=A，而青岛掌?心博阅电子书
?223???（A-2E）-1=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?. ????164??1?4?3??423??3?8?6???????所以B=(A-2E)-1A=?1?5?3??110?=?2?9?6?.
????????164???123???2129?
?1000????0100?*5． 设矩阵A的伴随矩阵A??，且ABA?1?BA?1?3E。求矩阵B。 ?1010???0?308???*n?13【答案】由|A|?|A|，有|A|?8，得|A|?2。
用A*，A左右乘方程的两端，得(2E?A)B?6E
*
?1??0*?1B?6(2E?A)?6??1??0?0??100?010??30?6??00?1?6??0??6??0?000??600? ?060?30?1??
?2????3????6． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，3是它的三个解向量，且1??，
4???5????1????2??2??3???求该方程组的通解。
3???4???【答案】将①与②联立得非齐次线性方程组:
?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ?2x?4x?ax?0,23?1??a?1.?x1?2x2?x3 第 4 页，共 39 页
对③的增广矩阵A作初等行变换得:
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若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.
0??1110????2a0??01a?10?. ?4a20??00(a?2)(a?1)0??????21a?1??001?aa?1??（1）当a?1时，有r(A)?r(A)?2?3，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，
此时
?1??1A??1??1?11?1??0A??0??0?010??100?，
000??000????1???则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:?0?,
?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数.
?1???（2）当a?2时，有r(A)?r(A)?3，方程组③有唯一解,此时
0??101?， ?01?1?000???0??0?????故方程组③的解为:?1?,即①与②有唯一公共解x??1?.
??1???1?????
7． 设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 【答案】由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.
?1??0A??0??0?00?100???8． 设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。
?021?????100【答案】?E?A?00??1?20?(??1)3?0青岛掌?心博阅п电子书
??1?000??1??0???????特征值?1??2??3?1，对于λ1＝1，?1E?A??000?，特征向量为k?0??l?0?
???0?20???0????1??第 5 页，共 39 页
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