第二讲 图形的计数问题
一、知识点：
几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．
二、典例剖析：
例（1） 数出右图中总共有多少个角
分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个）
解： 4＋3＋2＋1＝10（个）
答：图中总共有10个角。 练一练：
数一数右图中总共有多少个角？
答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.
②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个）
解：：①在△ABC中共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个）
答： 在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练：
共有多少个三角形？
答案: 18
例（3）数一数图中长方形的个数
分析： AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.
BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 解： 共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）
答：共有长方形90个。
练一练：
D C 数一数图中长方形的个数 A B 答案: 90
例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方
形）
.
分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，
图中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有： 2×1=2（个）.
解： 正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 =30+20+12+6+2=70（个）
答： 练一练：
下图共有几个正方形?
a 答案: 10
例（5）数一数图中三角形的个数
分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线
段的最小三角形开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为： W①上=1+2+3+4=10（个）.
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为： W①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为： W②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）. Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为： W③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）. Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：
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