第6课时 二次函数的综合应用
命题点 1 二次函数实际应用
1. (2024巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) 1
A. 此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5
5B. 篮圈中心的坐标是(4，3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D.篮球出手时离地面的高度是2 m
第1题图
2. (2024安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变；
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)． (1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
3. (2024巴彦淖尔改编)工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)若长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
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(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
第3题图
命题点 2 二次函数与几何图形综合题
4. (2024自贡)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点． (1)求直线AD及抛物线的解析式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
第4题图
5. (2024怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存
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在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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6. (2024锦州)在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2＋bx
22＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． ．．．
第6题图
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7. (2024十堰)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(0，－4)，与x轴交于另一点C，连接BC.
2(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证：AP∥BC；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E, 使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案
1. A
2. (1)W1＝－2x2＋60x＋8000， W2＝－19x＋950;
(2)当x＝10时，总利润W最大，最大总利润是9160元． 3. (1)裁掉的正方形边长为2分米；
(2)当裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低为31元． 4. (1)直线AD的解析式为y＝x－1，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3； (2)∵P(m，n)在线段AD上， ∴点P的坐标为(m，m－1)， ∴点Q的坐标为(m，m2＋2m－3)，
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∴l＝m－1－(m2＋2m－3)＝－m2－m＋2＝－(m＋)2＋(－2 2419 ∵－1<0，∴当m＝－时，l有最大值，最大值为 ； 24 (3)存在，点R的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)． 5. (1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3， 直线AC的解析式为y＝3x＋3； (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 4 ∴顶点D(1，4)， ∴点D关于y轴的对称点E的坐标为(－1，4)， 如解图①，连接BE与y轴交于点M，此时△BDM的周长最小， 设直线BE的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点B(3，0)，E(－1，4)代入得 ?4＝－m＋n?m＝－1???，解得?， ???0＝3m＋n?n＝3 ∴直线BE的解析式为y＝－x＋3， 当x＝0时，y＝3， ∴点M的坐标为(0，3)，此时点M与点C重合； 第5题解图① (3)在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形． ①如解图②，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交点为Q，则∠AOQ＝∠CAQ＝90°， ∴∠AQO＋∠OAQ＝∠AQC＋∠ACQ， ∴∠QAO＝∠ACO， ∴△AOQ∽△COA， ∴ OQOAOQ1 ＝，即＝， OAOC13 1∴OQ＝， 31 ∴Q(0，－)， 3 11 易求得直线AQ的解析式为y＝－x－， 33 5
2024年人教版中考数学复习同步练习含答案：第三单元函数（第6课时）二次函数的综合应用
