题目：中心极限定理及意义
课 程 名 称： 概率论与数理统计 专 业 班 级： 成 员 组 成：
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2012年5月25日
摘要：
本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词：
随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理
引言：
在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合
影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。
中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1,X2,???,Xn,???相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差
E?Xk???,D?Xk???2?0(k?1,2,???)，则随机变量之和
nn?Xk?1nk的标准化变量，
?n?Xk?E??Xk???k?1??Yn?k?1?n?D??Xk??k?1??Xk?1k?n?n?
的分布函数Fn(x)对于任意x满足，
?n?Xk?n????x1?t2/2?k?1?limFn(x)?limP??x???edt???x???n??n??n?2???????
2.李雅普诺夫定理
设随机变量X1,X2,???,Xn,???相互独立，它们具有数学期望和方差
E?Xk???k,D?Xk???k2?0(k?1,2,???)，
k?1记
若存在正数?，使得当n??时，
B???k22nn．
1B2??k?1n?E?Xnk??2????0，
则随机变量之和
?Xk?1nk的标准化量化，
?n?X?E??Xk??k?k?1??Zn?k?1?n?D??Xk??k?1?n?X???kk?1k?1nnkBn
的分布函数Fn(x)对于任意x满足，
n?n?X??k??k??x1?t2/2?k?1?k?1limFn(x)?limP??x???edt???x???n??n??B2?n??????
3.棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量?n(n?1,2,???)服从参数为n,p(0?p?1)的二项分布，则对于任意x，有
??x1?t2/2???np?limP?n?x???edt???x???n??np(1?p)2?????
二、中心极限定理的意义： 首先，中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位.
三、中心极限定理的应用： 1.1保险学的概率论数学原理
保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想，它以数理统计为依据。保险中的风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围，也就是遭受损失的人、场所或事物。风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计算基础。理想状态下的风险单位应独立同分布，这种现象的意义在于保险人可以
中心极限定理及其意义(精)
