在R中任取x1＜x2，则3x1-3x2＜0，3x1?1＞0，3x2?1＞0，
3x1?13x2?1222(3x1?3x2)??(1?x1)?(1?x2)?x1＜0 可得f(x1)?f(x2)?x13?13x2?13?13?1(3?1)(3x2?1)故f(x1)?f(x2)＜0，函数f(x)在R上单调递增；
3x?12（3）由f(x)?x，易得3x＞0，3x+1?1?x＞1，
3?13?1222＜2-2＜-＜0-1＜1?＜1， ，，故3x?13x?13x?1故f(x)的值域为(?1,1).
故0＜【点睛】
本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.
22．（1）k?【解析】 【分析】
（1）利用公式f??x??f?x??0，求实数k的值； （2）由题意得a?log22?1恒成立，求a的取值范围；
（3）h(x)?2?1?m?4，x?[1,2]，通过换元得y?mt?t?1，t?[2,4]，讨论m求
xx231（2）a?0（3）存在，m?? 216?x?函数的最小值，求实数m的值. 【详解】
fx）（1）（是偶函数?f(?x)?f(x)?0，
?log2?2?x?1??kx?log2?2x?1??kx?0，
2x?11?2kx?log2?x?x?(2k?1)x?0Qx?R?2k?1?0?k?.
2?12（2）由题意得a?log22?1恒成立，
?x?Q2x?1?1?log2?2x?1??0?a?0.
xx（3）h(x)?2?1?m?4，x?[1,2]，
令t?2x，则y?mt?t?1，t?[2,4]，
1°当m?0时，y?t?1的最小值为3，不合题意，舍去； 2°当m?0时，y?mt2?t?1开口向上，对称轴为t??21?0， 2m?y?mt2?t?1在[2,4]上单调递增?ymin?4m?3?2，
1?m???0，故舍去；
43°当m?0时，y?mt2?t?1开口向下，对称轴为t??当?1?0， 2m11?3即m??时，y在t?4时取得最小值， 2m63，符合题意； 16?ymin?16m?5?2?m??当?11?3即??m?0时，y在t?2时取得最小值，
62m1?ymin?4m?3?2?m??，不合题意，故舍去；
4综上可知，m??【点睛】
本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分m?0，m?0，和m?0三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 23．(1) f?x??3. 1621159x(2) ABgx?x x?0，；当投资产品万元，产品???? x?0??516165161. 40万元时，收益最大为【解析】 【分析】
（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；
（2）构造全部收益关于x的函数，求函数的最大值即可. 【详解】
（1）由题可设：f?x??k1x，又其过点?1,0.2?， 解得：k1?0.2
同理可设：g?x??k2x，又其过点?1,0.4?， 解得：k2?0.4
2x?x?0? ?x?0?，g?x??5x 5（2）设10万元中投资A产品x，投资B产品10?x，故：
故f?x??总收益y?f?x??g?10?x? =
x2+?10?x? 7?a 55 令x?t，则t??0,10?，则： ??21y??t2?t?4
552?1?161 =??t???
5?4?40故当且仅当t?211161. ，即x?时，取得最大值为
416401159161. 万元，B产品万元时，收益最大为
161640综上所述，当投资A产品【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题. 24．（1）证明见解析（2）?4?a?4 【解析】 【分析】
（1）先由函数f(x)为奇函数，可得m?1，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为sin2x?asinx?3?0在R上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】
3x?1解：（1）∵函数f(x)?是定义域为R的奇函数， xm?3?13?x?13x?13x?13x?1?f(?x)??f(x)?，?????xxxxm?3?1m?3?1m?3m?3?1?(a?1)?3x?1??0，
等式(m?1)3?1?0对于任意的x?R均恒成立，得m?1，
?x?3x?1则f(x)?x，
3?1即f(x)?1?2， 3x?1设x1,x2为任意两个实数，且x1?x2，
x1x223?3??，22??f?x1??f?x2???x1???x2? ?3?1?3?1??3x1?1??3x2?1?因为x1?x2，则3x1?3x2，
所以f?x1??f?x2??0，即f?x1??f?x2?， 因此函数f(x)在R上是增函数; （2）由不等式fcosx?asinx?3??2?1对任意的x?R恒成立， 22则fcosx?asinx?3?f(1).由（1）知，函数f(x)在R上是增函数，
??则cos2x?asinx?3?1，即sin2x?asinx?3?0在R上恒成立.令sinx?t，
a?a2?t?[?1,1]，则g(t)?t?at?3??t???3??0在[?1,1]上恒成立.
4?2?22a?1时，即a??2，可知g(t)min?g(1)?4?a?0，即a??4， 2所以?4?a??2；
①当?a2a?a??0. ②当?1???1时，即?2?a?2，可知g(t)min?g????3?242??即?23?a?23，所以?2?a?2； ③当?a??1时，即a?2，可知g(t)min?g(?1)?4?a?0，即a?4， 2所以2?a?4，
综上，当?4?a?4时，不等式fcosx?asinx?3?【点睛】
本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题. 25．（1）见解析；（2）有，1.5 【解析】 【分析】
?2?1对任意的x?R恒成立. 2?性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数g?x?在区间?1,2?上有且仅
（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间0,???上的单调有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】
（1）函数f?x?在区间0,???上是增函数， 设x1,x2?0,???，且x1?x2， 则f?x1??f?x2????x1?x2??x1?x2??x1?x2x1?x2??x1?x2?0，
x1?x2所以f?x1??f?x2?，
故函数f?x?在区间0,???上是增函数. （2）g?x???x?log2x?2是增函数，
又因为g?1??1?log21?2??1?0，g?2??2?log22?2?2?1?0， 所以连续函数g?x?在区间?1,2?上有且仅有一个零点x0
因为g?1.5??1.5?log21.5?2?1.225?0.585?2??0.19?0，
所以x0??1.5,2?
又因为g?1.75??1.75?log21.75?2?1.323?0.807?2??0.13?0， 所以x0??1.5,1.75?
又1.75?1.5?0.25?0.3，所以g?x?零点的近似值为1.5. 【点睛】
本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.
??x2?8x?4，0?x＜7?26．（1）y??1x?8；（2）当x?4时产品的性能达到最佳
?()，x?7?3【解析】 【分析】
2（1）二次函数可设解析式为y?ax?bx?c，代入已知数据可求得函数解析式；
（2）分段函数分段求出最大值后比较可得． 【详解】
（1）当0≤x＜7时，y是x的二次函数，可设y＝ax2+bx+c（a≠0）， 由x＝0，y＝﹣4可得c＝﹣4，由x＝2，y＝8，得4a+2b＝12①， 由x＝6，y＝8，可得36a+6b＝12②，联立①②解得a＝﹣1，b＝8， 即有y＝﹣x2+8x﹣4； 当x≥7时，y?()13x?m，由x＝10，y?1x?81，可得m＝8，即有y?()；
39??x2?8x?4，0?x＜7?综上可得y??1x?8．
()，x?7??3（2）当0≤x＜7时，y＝﹣x2+8x﹣4＝﹣（x﹣4）2+12， 即有x＝4时，取得最大值12； 当x≥7时，y?()13x?8递减，可得y≤3，当x＝7时，取得最大值3．
综上可得当x＝4时产品的性能达到最佳． 【点睛】
本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解．
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)(1)
