2019中考数学压轴题
1.(眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（1，0）.
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA, MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由.
P G C A E F 图1 O B x A O
图2 M C N B x D y D y 42
x+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B92.()如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3.()如图，抛物线过A点的直线l：与x轴交于A、B两点在B的左侧，与y轴交于点N，与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点
为D，已知，，P点为抛物线上一动点不与A、D重合．
求抛物线和直线l的解析式；
当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作于点F，求
的最大值；
轴交直线l于点E，作
轴交直线l设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4.()如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当
m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
5.()已知二次函数y?ax?bx?4(a＞0)的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE＝2：1．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
yy2xOOx
6.()如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0）P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7.(凉山州)如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点
P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得
S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8. ()如图，抛物线y ? ax2
1
? x ? c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线 2
1
y ? ? 2x ? 2经过点 A，C． (1)求抛物线的解析式．
(2)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横
坐标为 m．
①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
②作点 B 关于点 C 的对称点 B?，则平面内存在直线 l，使点 M，B， B?到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l： y ? kx ? b 的解析式．（k，b 可用含 m 的式子表示）
y y A M P O C B x A O C B x
9.()如图，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上的一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E. （1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当P点在线段OB（点P不与O、B点重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值.
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：△MNB的面积是否存在最大值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2
10.()已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也
停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题： （1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由．
11.()如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
12.()问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着
AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小
值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．
13.()已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）． （1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）． ①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
14.() 如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t(s)．
（1）若AB＝23．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM＝45°是否总是成立？请说明理由．
DCDB'B'PPCDCABABAB
15.(宿迁)如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标； （3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
16.() 如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有
y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．
17.() 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△
BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18.(聊城) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
19.() 如图，已知直线AB与抛物线C：y?ax2?2x?c 相交于A??1,0?和点B?2,3?两点.
⑴.求抛物线C的函数表达式；
⑵.若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形
求此时四边形MANB的面积S及点M的坐MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，
标；
⑶.在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y?
17的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由. 4yMBy?174AOx
20.()如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．
21.()如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．
22.(株洲)已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0） （1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与
BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．
23.()如图①，抛物线y=-x2+（a+1）x-a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标．
24.(威海) （1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM… 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD… 请你选择一种方法证明．
（2）类比探究 【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝
AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．
【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠
ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：
AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
25.() 如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
1.
26.() 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH． （1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
27.()如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，
OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM．
、 B（-4,0），与 y 轴交28.(东营) 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 4经过点 A（2,0）于点C.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时， 求点 P 的坐标；
（3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.
数学试题
页）
（第 28 题图 1）
29.()
（第 28 题图 2）
30.(宿迁) 如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴
交于点C(0,-3).
(1)求抛物钱的函数表达式；
⑵如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠AC0。求点P的坐标； (3)如图②.点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N。请问DM+DN是否为定值？如泉是，请求出这个定值，如果不是,请说明理由.
31.() 如图所示?二次函数y?k(x?1)?2的图像与一次函数y?kx?k?2的图像交于A、B两点，点B在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0. （1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
2
32.()如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、
B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为______； （2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的
面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
33.(滨州)如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线
AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为
时，求sin∠PAD的值．
34.()如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠
DAM，设AM＝x，DN＝y．
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
35.()如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=
3，点D为BC边上的动点（点D不与点4B，C重合）.以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF. （1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DE＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由。
36.(天津)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA,AB,OB上，OD=2. （I）如图①，求点E的坐标；
（II）将矩形CODE沿x轴向左平移，得到矩形C?O?D?E?,点D,O,C,E的对应点分别为
C?，O?，D?，E?.设OO??t，矩形C?O?D?E?与△ABO重叠部分的面积为s.
①如图②，当矩形C?O?D?E?与△ABO重叠部分为五边形时，C?E?、D?E?分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围; ②3?s?53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）。
最新2019中考数学压轴题精选
