【分析】
2当x?0时，令f?x??lnx?x?2x?0，即lnx?x2?2x，作y?lnx和y?x?2x的
2x?2?1?0，可解得零点，从而得解. 图象，判断交点个数即可，当x?0时，令f?x?? 【详解】
方法一：当x?0时，令f?x??lnx?x?2x?0，即lnx?x2?2x.
2作y?lnx和y?x?2x的图象，如图所示，显然有两个交点，
2
x?2?1?0，可得x??1或?3. 当x?0时，令f?x?? 综上函数的零点有4个.
1?2x2?2x?1方法二：当x?0时，f?x??lnx?x?2x，f'?x???2x?2?，令
xx2f'?x??0可得f'?x???2x2?2x?1?0，
f'?0??1，f'?2???3?0，说明导函数有两个零点，
函数的f?1??1?0，f?3??0，可得x?0时， 函数的零点由2个．
x?0时，函数的图象如图：
可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】
本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数
y?f?x??g?x?零点的个数即等价于函数y?f?x?和y?g?x?图象交点的个数，通过
数形结合思想解决实际问题．
20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与
解析：(1)-1，(2)【解析】 【分析】 【详解】
1?a?1或a?2. 22x?a,x?1①a?1时，f?x??{，函数f(x)在(??,1)上为增函数且
4?x?a??x?2a?,x?1.f?x???1，函数f(x)在[1,]为减函数，在[,??)为增函数，当x?小值为-1；
x（2）①若函数g(x)?2?a在x?1时与x轴有一个交点，则a?0， g(1)?2?a>0，
32323时，f(x)取得最2则0?a?2，函数h(x)?4(x?a)(x?2a)与x轴有一个交点，所以
2a?1且a?1?1?a?1； 2x②若函数g(x)?2?a与x轴有无交点，则函数h(x)?4(x?a)(x?2a)与x轴有两个交点，当a?0时g(x)与x轴有无交点，h(x)?4(x?a)(x?2a)在x?1与x轴有无交点，不合题意；当当a?2时g(x)与x轴有无交点，h(x)与x轴有两个交点，x?a和x?2a，由于a?2，两交点横坐标均满足x?1；综上所述a的取值范围
1?a?1或2a?2.
考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.
三、解答题
21．（Ⅰ）能（Ⅱ）AB?20米且AD?5米 【解析】 【分析】
（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=即
可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大.
3x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，4【详解】
解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB＝18米，AD＝6米， 所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9. 设太阳光线所在直线方程为y＝－
3x＋b， 4＝9，
即3x＋4y－4b＝0，则由27+24-4b3+422解得b＝24或b＝
3 (舍)． 23x＋24, 4故太阳光线所在直线方程为y＝－令x＝30，得EG＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD＝h米，AB＝2r米，
则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r. 方法一 设太阳光线所在直线方程为y＝－即3x＋4y－4b＝0， 由3x＋b， 4r (舍)． 23r+4h-4b32+42＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－
故太阳光线所在直线方程为y＝－令x＝30，得EG＝2r＋h－由EG≤
3x＋h＋2r， 445， 25，得h≤25－2r. 2123232πr＝2rh＋×r≤2r(25－2r)＋×r 222所以S＝2rh＋＝－
525r＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 22当且仅当r＝10时取等号． 所以当AB＝20米且AD＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大．
方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)， 设过点G的上述太阳光线为l1， 则l1所在直线方程为y－即3x＋4y－100＝0.
由直线l1与半圆H相切，得r＝
53＝－(x－30)， 243r+4h-1005.
而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0， 即r＝－
3r+4h-100，从而h＝25－2r. 5123255πr＝2r(25－2r)＋×r＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.当且仅当r2222又S＝2rh＋
＝10时取等号．
所以当AB＝20米且AD＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 【点睛】
本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题． 22．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）奇函数在x?0处有定义时，f?0??0，由此确定出a的值，注意检验是否为奇函数；
（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】
?2x?a?1?根据题意，函数f?x??x是定义域为R奇函数，
2?1?20?a则f?0??0?0，解可得a?1，
2?11?2x1?2?x当a?1时，?f?x?????f??x?，为奇函数，符合题意； x?x1?21?2故a?1；
1?2x1?2?由?1?的结论，f?x????2，在R上为减函数； xx1?22?1证明：设x1?x2，
2x2?2x2?1??1??2???x2?2??x则f?x1??f?x2???x1， x21?2?1??2?1?2?12?1??????又由x1?x2，则22?21?0，21?1?0，22?1?0， 则f?x1??f?x2??0， 则函数f?x?在R上为减函数． 【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在x?0处有定义时，一定有f?0??0.
?xx??x??x??75x2?30x?225,0?x?2,?23．（Ⅰ）f?x???750x（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该
?30x,2?x?5.??1?x果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可得f（x）＝15w（x）﹣30x，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】
（Ⅰ）由已知f?x??15W?x??20x?10x?15W?x??30x
?15?5x2?3?30x,0?x?2,?75x2?30x?225,0?x?2,????? ?750x50x?30x,2?x?5.?30x,2?x?5??15??1?x1?x?(Ⅱ)由(Ⅰ)得
2?1??75?x???222,0?x?2,?75x2?30x?225,0?x?2,?5????f?x???750x=?
?30x,2?x?5.??25??780?30???1?x??,2?x?5.?1?x?1?x?????当0?x?2时，f?x?max?f?2??465； 当2?x?5时，f?x??780?30?当且仅当
?25?25??1?x?? ?780?30?2??1?x??480 1?x??1?x25?1?x时，即x?4时等号成立． 1?x因为465?480，所以当x?4时，f?x?max?480．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】
本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．充要条件是a?1． 【解析】
【压轴题】高中必修一数学上期中一模试卷(含答案)
