2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题一、选择题（1）设a1?x(cosx?1),a2?A.a1,a2,a3B.a2,a3,a1C.a2,a1,a3D.a3,a2,a1
（2）已知函数f(x)??
xln(1?3x),a3?3x?1?1，则（）.?2(x?1),x?1
，则f(x)的一个原函数是（）.?lnx,x?1
?(x?1)2,x?1
A.F(x)??
?x(lnx?1),x?1?(x?1)2,x?1B.F(x)???x(lnx?1)?1,x?1?(x?1)2,x?1C.F(x)???x(lnx?1)?1,x?1?(x?1)2,x?1D.F(x)???x(lnx?1)?1,x?11
??111
（3）反常函数①?exdx，②?exdx的敛散性为（）.22??x0x
0
A.①收敛，②收敛B.①收敛，②发散C.①发散，②收敛D.①发散，②发散（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）.A.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点B.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点C.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点D.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点（5）设函数fi(x)(i?1,2)具有二级连续导数，且fi''(x0)?0(i?1,2)，若两条求曲线y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点曲线y?f1(x)的曲率大于曲线y?f2(x)，则在x0的某个邻域内，有（A.f1(x)?f2(x)?g(x)B.f2(x)?f1(x)?g(x)C.f1(x)?g(x)?f2(x)
）.D.f2(x)?g(x)?f1(x)
ex（6）已知函数f(x,y)?，则（）.x?yA.fx?fy?0B.fx?fy?0C.fx?fy?fD.fx?fy?f
（7）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A.A与B相似B.A与B相似C.A?A与B?B相似D.A?A与B?B相似22
（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3的正、负惯性指数分?1
?1
T
T
?1
?1
T
T
''''''''）.别为1,2，则（A.a?1B.a??2C.?2?a?1
）.D.a?1或a??2二、填空题x32（9）曲线y???xarctan(1)的斜渐近线方程为________________.21?x（10）lim
112n(sin?2sin?L?nsin)?________________.n??n2nnn2
x
2
（11）以y?x?e和y?x为特解的一阶非齐次线性微分方程为________________.（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，f(x)?(x?1)?2
2?
x0f(t)dt，则当n?2时，f(n)(0)?_________.（13）已知动点P在曲线y?x上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标3
对时间的变化率为常数V0，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是________________.?a?1?1??110?????
（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?________________.??????1?1a??101?????
三、解答题（15）（本题满分10分）1
求极限lim(cos2x?2xsin
x??x).x4（16）（本题满分10分）设函数f(x)??10|t2?x2|dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定z?z(x,y)的极值.（18）（本题满分10分）2
2
x2?xy?y2dxdy.设D是由直线y?1,y?x,y??x围成的有界区域，计算二重积分??22Dx?y（19）（本题满分10分）已知函数y1(x)?ex,y2(x)?u(x)ex是二阶微分方程(2x?1)y''?(2x?1)y'?2y?0的两个解，若u(?1)?e,u(0)??1，求u(x)并写出微分方程的通解.（20）（本题满分11分）3
???x?cost
设D是曲线y?1?x(0?x?1)与?t??(0)围成的平面区域，求D绕x轴3
2??y?sint
2转一周所得旋转体的体积和表面积.（21）（本题满分11分）3?3?cosx
的一个原函数，且f(0)?0]上连续，在(0,)内是函数222x?3?3?（1）求f(x)在区间[0,]上的平均值；23?（2）证明f(x)在区间(0,)存在唯一零点.2已知函数f(x)在[0,（22）（本题满分11分）11?a??1?0?????设矩阵A??10a,?1????，且方程组Ax??无解，?????a?11a?1??2a?2?（1）求a的值（2）求方程组AAx?A?的通解.T
T
（23）（本题满分11分）?0?11???
已知矩阵A?2?30??
?000???
（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA.记B
2
100
99
?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示成?1,?2,?3的线性组合.
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)
