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空间几何体的表面积和体积考点讲解及经典例题解析

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空间几何体的表面积和体积习题讲解

一.课标要求:

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

二.命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。

考查形式:

(1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式;

(2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题;

三.要点精讲

1.多面体的面积和体积公式

侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V) 名称 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S底?h?S截面积?h S侧?2S底 S底?h 直棱柱 ch 各侧面积之和 棱 锥 棱锥 正棱锥 1ch? 2S侧?S底 1S底?h 3学习必备 欢迎下载

棱 台 棱台 各侧面面积之和 S?S侧上底?S下底正棱台 1(c?c?)?h? 2 1h(S上底?S下底?3 S上底?S下底)表中S表示面积,c?、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h?表示斜高,l表示侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 S全 2?rl 2?r(1?r) ?rl ?r(1?r) 12?rh 3?(r1?r2) ?(r1?r2)l??(r12?r22) 1?h(r12?r1r2?r22) 3 4?r2 V ?r2h 43?r 3表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径,R表示半径。

四.典例解析

题型1:柱体的体积和表面积

例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

(1)?2(xy?yz?zx)?20依题意得:?

(2)4(x?y?z)?24?由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x2+y2+z2=16

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即l2=16 所以l=4(cm)。

点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。

例2.如图1所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

?。 3(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2

解析:(1)如图2,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN,

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

?13=3×= 322学习必备 欢迎下载

∴AO=

AMcos?4=

32。 299=, 22又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12 – AO2=9-

∴A1O=

3232?302。 ,平行六面体的体积为V?5?4?22题型2:柱体的表面积、体积综合问题

例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6,这个长方体对角线的长是( )

A.2

3

B.3

2

C.6 D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b=l=a2?b2?c2?6;答案D。

2,c=3,则对角线l的长为

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例4.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1∶V2= ____ _。

解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体V=V1+V2=Sh。

∵E、F分别为AB、AC的中点,

积为V,则

∴S△AEF=

1S, 4V1=

1117h(S+S+S?)=Sh

41234V2=Sh-V1=

5Sh, 12学习必备 欢迎下载

∴V1∶V2=7∶5。

点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3:锥体的体积和表面积 例5. (2008山东卷6)

P 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是D (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π (2008江西卷10)

连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:

①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 其中真命题的个数为C

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2008湖北卷3)

用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为?,则球的体积为B

82?32?8? B. C. 82? D.

333点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力

A B E O D C

A.

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