2019-2020年高二数学互斥事件有一个发生的概率（第二课时）人教版
一教学目标：理解对立事件的概念，理解对立事件的概率关系公式 间关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率. 二 教学重点：重点是对立事件的概率间关系。
三教学难点：难点是用定义判断较复杂的事件是否互斥与对立，
并会于把一个复杂事件的概率
，会利用对立事件的概率
计算转化成求其对立事件的概率，突破重点和难点的关键是正确运用集合与分类的思想方法判 断较复杂的事件的互斥与对立。
四教学方法：启发式 五数学过程：
I. 复习回顾
问题1 什么叫做互斥事件？
问题2
怎样计算n个互斥事件中有
个发生的概率？ “事件
注意：⑴记准一些符号及其意义，比如
A+B，表示事件A与事件B中至少有一个发
生，而我们往往会想当然地认为是事件 能同时发生.
A与B同时发生，事实上当 A与B互斥时，它们不可
⑵从集会角度来看，事件A、B互斥，指事件A、B所含结果组成的集合交集为空集, 所有事件的结果构成全
集 U,则：
'
+ 和二剧（A + E）=沁（& + T3）=弩⑷ + card（^ = p A. + 玖印
— 孟厉 血 <1? card（U）
P（A
问题3在一个盒内放有10个大小相同的小球，其中有 6个红球，4个白球.记“从盒中 摸出1个球，得到红球”为事件 A ; “从盒中摸出1个球，得到白球”为事件 B .（ 1）事件 A与B互斥吗？（ 2）事件A与B不可同时发生，那么它们可同时不发生吗？（ 件A与B的概率关系如何呢？
3）这样的事
n .讲授新课
1. 对立事件的概念
对于上述问题中的事件 A与B ,由于它们 不可能同时发生，所以它们是互斥事件；又由于
摸出的1个球要么是红球，要么是白球，
所以事件A与B必有一个发生.这种其中 必有一个发
生的互斥事件叫做对立事件?事件 A的对立事件通常记作.
在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一 个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件.
例如某事件A :某班今天下午第一节是语文课，事件
B :该班今天下午第一节是数学课。
B :某班今天下午第一节不
，即两个事件
这两个事件不可能同时发生，故 A、B是互斥事件。当A、B是互斥事件时，A、B同时发生 的概率为0。 又如事件
A :某班今天下午第一节是数学课与事件
也就是说，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必是互斥事件 对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.
是数学课是对立事件。若 A、B是对立事件，则 A与B互斥，且A+ B （A B中至少有一个 发生的事件）是必然事件
从集会的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是
空集（如图1），事件A的对立事件 所包含的结果组成的集合，是全集中由事件 结果组成的集合的补集（如图
A所包含的
2）.
2 图1
2. 对立事件的概率间关系
根据对立事件的意义 件，它的概率等于
，是一个必然事
P（A） P（A） =P（A A） =1
这就是说，对立事件的概率和等于 1.
由上面的公式还可以得到
这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率， 使概率的计算得到
1?又由于 A与互斥，于是
简化.
3. 例题分析
例1 从1, 2, 3, 4,…，9这九个数中任取两个数，分别有下列两个事件：⑴恰有一个 是奇数和恰有一个是偶数；⑵至少有一个是奇数和两个都是奇数；⑶至少有一个是奇数和两个 都是偶数；⑷至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中哪一组的两个事件是对立事件？
答案：③
教师应说明判断方法；判断两个事件是否为对立事件，应先判断是否为互斥事件，即是否 同时发生；再判断是否必有一个发生.
例2 在50件产品中，有35件一级品，15件二级品.从中任取 5件，设“取得的产品都 是一级品”为事件 A,试问： 表示什么事件？
答：事件 表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有
1件不是一级
必然
。
品”.首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不 发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”
有一个发生.所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示
例3 在20件产品中，有15件一级品，5件二级品.从中任取 3件，其中至少有1件为 二级品的概率是多少？ 解法1:记从20件产品中任取5件，其中恰有“1件二级品”为事件 A1，恰有“2件二级 品”为事件A2，“3件全是二级品”为事件 A3，这样有
30 228
由于 A1，A2，A3彼此互斥，所以
3件产品中至少有 1件是二级品的概率是
尸（4 +4+4）=尸（4）+ P（4） + P（4）
_ 105 30 2 _137
丽）=
2 228
_
228+228 + 228 _228
解法2 :记从对件产品中任取 3件，“3件全是一级品’为事件 A，则
由于“任取3件，至少有1件为二级品”是事件 A的对立事件.根据对立事件的概率加
- 01 137
法公式，得到.'|
228 228
点评：利用对立事件的概率和公式可简化概率的计算. 川.课堂练习
1.
A A、B是互斥事件
C A、B不是互斥事件
若P(A+B)=1，则事件A与B的关系是( )
B . A、B是对立事件 D.以上都不对
2. 如图10- 12,靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环H、川构成，射手命中I、n、
川的概率分别为 0.35、0.30、0.25，求不命中靶的概率为 __________________________ .
3 .学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门.已知会唱歌的有
现从中选3人，至少要有1人既会唱歌又会跳舞的概率是
【参考答案】
5人，会跳舞的有7人
16/21 ，求该队的人数.
1 . D; 2 . 0.01
x人，从而只会唱歌或只会跳舞的只有
3 .解：设该队既会唱歌又会跳舞的有
“至少有一人既会唱歌又会跳舞”为事件
3
3 3
3
(12-2x)人.记
A，则事件Z为“只会唱歌或只会跳舞”，由于
P(A) -Cg/Cs P(A) “-C
整理得：
(12 -2x)(11 -2x)(10-2x) (12 _x)(11 _x)(10 _x) - 21 x =3
从而12-x=9即该队只有9人.
5
点评：解题过程中出现了三次方程.由于 x为正整数，可用试根的方法求出方程的根.
IV.课时小结
两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时， 这样的两个互斥事件叫做对立事件. 所以对
立事件是互斥事件中的一种情况，即两个事件互斥，它们不一定对立；而两个事件对立，它们 一定互斥.在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而先求其对立事件的概率，利用对立事 件的概率可使概率的计算得到简化.
V.课后作业
1.课本 P128 习题 11 . 2
5 , 6 .
2 . 一个袋内装有3个红球n个白球，从中任取 3个.已知取出3个球中至少有1个白球的 概率是34/35，求n
的值.
3. 苏大本节内容。
【参考答
案】
2 . n=4
1略.
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