百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷
理科数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A?{x?3?x?1}，集合B?{xy?2?x2}，则AB?
A.[?2,1] B.(?2,1] C.[?3,2] D.(?3,2] 2.已知命题P：?x,y?(0,1),x?y?2，则命题P的否定为 A.?x,y?(0,1),x?y?2 B.?x,y?(0,1),x?y?2 C.?x0,y0?(0,1),x0?y0?2 D.?x0,y0?(0,1),x0?y0?2
?y?2?3.已知实数x，y满足?x?y?2，则3x＋2y的最大值为
?x?y?1?0?A.7 B.5 C.4 D.
9 24.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为
A.
5131719 B. C. D.
93636365.已知P为圆(x＋1)2＋y2＝1上任一点，A，R为直线3x＋4y－7＝0上的两个动点，且AB?3，则△PAB面积的最大值为 A.9 B.
93 C.3 D. 226.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为 A.1升 B.
324升 C.升 D.升 2337.如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设BA?a,BC?b，则BE?
A.
11152213a?b B.a?b C.a?b D.a?b 24363324
8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为
A.3 B.2020 C.3030 D.1010 9.(x?x)(x?2x?1)的展开式中，含x7项的系数为 A. 100 B. 300 C. 500 D. 110
10.已知函数f(x)?sin?x?3cos?x?3(??0)，在[0，值范围是 A.(25210?]上有且仅有三个零点，则ω的取2101410141414,) B.[,) C.[4,] D.[4,) 3333332CD，E为PC311.如图，四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB?上靠近点C的三等分点，则三棱锥B－CDE与四棱锥P一ABCD的体积比为
A.
1111 B. C. D. 9563x2y2b12.双曲线2?2?1(a?0,b?0)，F1，F2为其左右焦点，线段F2A垂直直线y?x，垂足为
aba
点A，与双曲线交于点B，若F2B?BA，则该双曲线的离心率为 A.2 B.2 C.3 D.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若复数z?2?2i?2，则z? 1?i14.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A、B、C，已知来自2班的同学比B成绩低，A与来自2班的同学成绩不同，C的成绩比来自3班的同学高，由此判断，来自1班的同学为
15.数列{an}中，其前n项和为Sn且Sn＝2an一2n＋1，则S10＝ 16.若函数f(x)?e?x1x?b在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为 a三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分)
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB。 (1)求B；
(2)若a＋b＝8，三角形的面积S△ABC＝43，求b。 18(12分)
如图所示的多面体的底面ABCD为直角梯形，四边形DCFF为矩形，且DE⊥BC，AD⊥DC，又AD⊥AB，AB＝AD＝DE＝
1CD＝2，M，N，P分别为EF，BF，BC的中点。 2
(1)求证：BC⊥平面MNP；
(2)求直线MN与平面BCF所成角的余弦值。 19.(12分)
移动支付(支付宝支付，微信支付等)开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使
用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人。已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6。
(1)完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由。
(2)在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中，每月移动支付的金额如下表：
现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y，求Y的分布列及数学期望。
n(ad?bc)2附：K?，其中n＝a＋b＋c＋d。
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
20.(12分)
a2?6x(a?R)。 函数f(x)?alnx?x(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a>0，证明：当x?(0，2]时，f(x)<0恒成立。 21.(12分)
3x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别
2ab为B1，B2，且F1B1?F1B2?2。 (1)求C的标准方程；
百师联盟2020届高三开学摸底大联考全国卷 数学(理) 含答案
