练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数（点A在点B的y?a2x?bx?(c?a0的图象与)x轴交于A，B两点左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和
y C B E O D 练习2图 (?3，?12)．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为．．．
A x y??x2?2x?3）
（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(?1，，0)B(3，0),C(0，3)
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与
?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
y P x C l A A B y o C B x O
x?1 练习4图
练习3图
2练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，?ACB?90，点A，C的坐标分别为A(?3，0)，C(1，0)，tan?BAC??3． 4y B （1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，0)，C(1，0)，
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A
x
O C
3)，y?B(1，39x? 44（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP?DQ?m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??1. 411抛物线的解析式为y??(x?2)2?1,即y??x2?x
44⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,
yABO12由0??(x?2)?1得x1?0,x2?4, x4∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6
DC12图1 将x＝6代入y??(x?2)?1,得y＝－3,
4∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
y当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A
A点,此时D点的坐标为(2,1)
BOE⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
x若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO A'设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)
1∴直线OP的解析式为y??x 图2 P211由?x??x2?x,
24得x1?0,x2?6
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
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∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 练习1、解：（1）由已知可得：
?3a?3b?3?53253?75 解之得，a??，b?，c?0． a?b?0?3342??c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??（2）存在．
设Q点的坐标为(m，n)，则n??2253x?x． 332253m?m， 332533?m2?m3?nm?3m?3BQPB33?要使△OCP∽△PBQ,，则有，即 ??33CPOC33解之得，m1?23，m2?2．
，2) 当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(232533?m2?m3?nm?3m?3BQPB33?要使△OCP∽△QBP,，则有，即 ??33OCCP33，m2?3，当m?解之得，m1?333时，即为P点，
y ，?3)． 当m1?33时，n??3，所以得Q(33C 故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．
3 B E 2)(33，?3)． Q点的坐标为(23，，O （3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?1 CP3??．所以?COP?30． OC3?2 D A x 图1
2)时，?BPQ??COP?30． 当Q点的坐标为(23，所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．
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因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?QA3?．所以?QOA?30． ?AO3即有?POQ??QOA??QPB??COP?30?． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30?， 所以△OQA≌△OQP．
练习2
解：（1）△OCD与△ADE相似。
理由如下：
由折叠知，?CDE??B?90°，
∴?1??2?90°，??1??3?90?，??2??3. 又∵?COD??DAE?90°，
∴△OCD∽△ADE。
（2）∵tan?EDA?AEAD?34，∴设AE=3t， 则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。
由（1）△OCD∽△ADE，得
OCCDAD?DE， ∴8tCD4t?5t， ∴CD?10t。
在△DCE中，∵CD2?DE2?CE2，
∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得t=1。
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
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y l N C M B G E P O D A x F 图2
点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，
1??10k?b?3，?k??，∴?解得?2 ?b?8，??b?8，1∴y??x?8，则点P的坐标为（16，0）。
2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。
练习3
解：（1）?二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)，
?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，
?c?3.?9a?3b?2??12.????此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．
（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
，x2?3 在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??1x 22?A(?1，，0)B(3，0)．
令x?0，得y?3．?C(0，3)．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
C D l 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． ?点B的坐标为(3，??AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.
A O E B y ?BC?32?32?32．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
x?1 20
中考数学动点问题专题讲解 - 图文
