版权所有，仿冒必究第一章 基础知识部分&1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数 ，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 （1）解析法 即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。 （2）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 （3）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x?2x?1,x?0???0x?0x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e2x+y-3=0可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。x?y?x?y?0等。而由?x???t?，?t?T?给出的， 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程???y??t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性（单调增加、单调减少）2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，0版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。5、极大值、极小值6、最大值、最小值三、初等函数 1、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫(x))。3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例2、经济函数关系式 （1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 （2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量 （3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本 （4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)&1.2函数的极限一、数列的极限 对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列{an}的极限，记为limn→∞an=A，或当n→∞时，an→A。 lim1lim?0，C?C（C 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如n??nn??limnq=0(q?1) 。 为常数）， n→∞ 若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况： （1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：??1?n?1； （2）数列无界，如数列{n2}。二、当x→0时，函数f（x）的极限 如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作→A。 单向极限定义 如果当x???或?x????时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿limf?x??A，或当x→∞时，f(x) x??1版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究湖A，那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限，记作limf?x??x????limA??n???f?x????A??。?三、当X→Xo时，函数f（x）的极限1、当X→Xo时，函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近Xo(记作X→Xo)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当X→Xo时的极限，记作limf?x??A，或当X→Xo时，f(x) →A。n??2、当X→Xo时，函数f(x)的左极限和右极限 如果当X→Xoˉ（或x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X→Xo时的左极限（右极限）为A，记作四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义 如果当X→Xo时，f(x)→0，就称f(x)当X→Xo时的无穷小，记作??lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0lim?A??。?limf?x??0；x?x0如果当X→Xo时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X→Xo时为无穷大，记作limx?x0f?x???。其中，如果当X→Xo时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当limf?x????；如果当X→Xo时，f(x)向负的方向无限增x?x0limx?x0f?x????。X→Xo时为正无穷大，记作大，就称函数f(x)当X→Xo时为负无穷大，记作2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么1为无穷小；反之，如果f(x)f(x)为无穷小，那么1为无穷大。f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。3、无穷小的性质 性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o(b)；2版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究a=0，则称a是比b低阶的无穷小；ba (2) 如果lim=∞, 则称a是比b高阶的无穷小；ba (3) 如果lim=c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。ba 特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～b。b (1)如果lim&1.3极限运算法则法则一 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u±v)=lim u±lim v=A±B;法则二 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u·v)=lim u·lim v=A·B；法则三 若lim u=A，lim v=B，且B≠0，则 limulimuA==vlimvB推论 若lim u=A，C为常数，k∈N，则 (1)lim C·u=C·lim u=C·A； (2)lim u= (lim u)=Akkk注 运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。&1.4两个重要极限一、limsin x =1x?0xlim?1?x二、?1??=ex???x?&1.5函数的连续性一、函数连续性的概念1.函数在某点的连续性lim 若函数f(x)在点x0及其左右有定义，且f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x?x0x0处连续，x0为函数f(x)的连续点。 理解这个定义要把握三个要点： （1）f(x)要在点x0及其左右有定义； （2）lim f(x)要存在x?x03版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究 （3） 增量limf(x)= f(x0)。x?x0 △x=x-x0 △y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，相应的函数增量△y也趋近于零，即lim?y?0，则称函数f(x)在点x0处连续，?x?0x0为f(x)的连续点。2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数f(x)在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a，b）上连续。 如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。二、连续函数的运算与初等函数的连续性1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。 设函数u?????在点x0处连续，且u0???x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数y?f(??x0?)在点x0处也连续。2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。第二章 微分与导数&2.1导数的概念设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x→0时，若?y得极?x限存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点x0处的导数，记作?x0??f’还可记作y’lim?ylimf?x0??x??f?x0??，?x?0?x?x?0?x∣ x?x0或dydy∣x?x0，dxdx∣x?x0。? (x0)和f?? (x0)都存在且等于A，即函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于f?4版权所有，仿冒必究
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