∴∠ODH=20°, 设DE交AC于N, ∵BC∥DE,
∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°﹣(∠ONH+∠OHD)=40°, ∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠DOC=20°, ∴∠CBD=∠OAD=20°, ∵BC∥DE,
∴∠BDE=∠CBD=20°.
25.(14.00分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2). (1)若点(﹣
,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
①求抛物线的解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN. 【分析】(1)由抛物线经过点A可求出c=2,再代入(﹣b+2=0(a≠0);
(2)①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下,进而可得出b=0,由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形,结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形,设线段BC与y轴交于点D,根据等边三角形的性质可得出点C的坐标,再利用待定系数法可求出a值,此题得解;
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,0)即可找出2a﹣
②由①的结论可得出点M的坐标为(x1,﹣由O、M、N三点共线可得出x2=﹣
+2)、点N的坐标为(x2,﹣
+2),
,进而可得出点N及点N′的坐标,由点A、
M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上,进而即可证出PA平分∠MPN. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2), ∴c=2. 又∵点(﹣∴a(﹣∴2a﹣
,0)也在该抛物线上,
)+c=0,
)2+b(﹣
b+2=0(a≠0).
(2)①∵当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0, ∴x1﹣x2<0,y1﹣y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大; 同理:当x>0时,y随x的增大而减小, ∴抛物线的对称轴为y轴,开口向下, ∴b=0.
∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C, ∴△ABC为等腰三角形, 又∵△ABC有一个内角为60°, ∴△ABC为等边三角形.
设线段BC与y轴交于点D,则BD=CD,且∠OCD=30°, 又∵OB=OC=OA=2, ∴CD=OC?cos30°=
,OD=OC?sin30°=1.
,﹣1).
不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为(∵点C在抛物线上,且c=2,b=0, ∴3a+2=﹣1, ∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2.
②证明:由①可知,点M的坐标为(x1,﹣直线OM的解析式为y=k1x(k1≠0).
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+2),点N的坐标为(x2,﹣
+2).
∵O、M、N三点共线, ∴x1≠0,x2≠0,且=
,
∴﹣x1+
=﹣x2+
, ∴x1﹣x2=﹣
, ∴x1x2=﹣2,即x2=﹣, ∴点N的坐标为(﹣
,﹣
+2). 设点N关于y轴的对称点为点N′,则点N′的坐标为(,﹣∵点P是点O关于点A的对称点, ∴OP=2OA=4,
∴点P的坐标为(0,4). 设直线PM的解析式为y=k2x+4, ∵点M的坐标为(x,﹣+2),
∴﹣+2=k2x1+4,
∴k2=﹣
,
∴直线PM的解析式为y=﹣+4.
∵﹣?+4==﹣+2,
∴点N′在直线PM上, ∴PA平分∠MPN.
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+2).
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