等高线问题的处理策略
若a,b,c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c)，求与
a,b,c有关的取值范围问题，其中f(a)?f(b)?f(c)我们称之为等高线，等高线问题的处理方式基本有三种类型.
题型一、在对数的绝对值函数中y?|logax|，（a?0且a?1）中，若存在f(a)?f(b)，利用结论
ab?1进行求解.
1. 若函数，若a,b,c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c)，
f(x)???|log2x|,0?x?4则abc的取值范围是 ??x?6,x?4，
解：作出函数f(x)的图象如图：
不妨设a?b?c，则由图象知0?a?1，
1?b?4，
4?c?6，且ab?1，abc?c?（4,6），
故答案为：（4,6）.
题型二、若条件中存在对称函数，常利用对称性建立 对称关系去求解.常见的对称性函数， 绝对值函数y?|x?a|，关于x?a对称， 一元二次函数，关于对称轴对称，
三角函数y?sinx,y?cosx，有很多对称轴.
2.若函数f(x)???log2x,0?x?4?|?x?6|,x?4，若a,b,c互不相等，
且f(a)?f(b)?f(c)，则a?b?c的取值范围是
1
解作出函数的图象如图：不妨设a?b?c，则由图象知
1?a?4，1?b?4，
∵f(4)?2,
由
|-x?6|?|x-6|?2得x?4或x?8，
即6?c?8，且b,c关于x?6对称，
b?c则2?6,则b?c?12,
则a?b?c?a?12?[13,16].
题型三、若条件中无法利用对称等性质，则需要利用换元法，设f(a)?f(b)?f(c)?t，用t表示a，b,c，
然后转化为关于t的函数，进行转化求解即可.
3.已知f(x)???|log3x|,0?x?3?2?log，若a,b3x,x?3,c互不相等，
且f(a)?f(b)?f(c)，则a?b?c的取值范围是 解：作出函数f(x)的图象如图：
设a?b?c，且f(a)?f(b)=f(c)=t，
则 0?t?1，由|log3x|?t得log3x??t，
t-tx?3x?3?即或
11a?,b?3t， t，t332?t2?t2-logx?tlogx?2-tx?3c?333由得，得即，
1910tt?3??3?3t3t3t，
10tm?3?（1,3）m?设,则m在（1,3）上为减函数，
19则m=1时，取得最大值11，m=3时，取得最小值3，
19(即3,11).
则a?b?c=
|x|?2?,x?14.已知f(x)??1，若a?b?c，且
?1,x?1??x解：
∵a?b?c?d，且f(a)?f(b)=f(c)=f(d)，
c?d?5， 2得c?d?10，d?10?c，其中4?c?5，
∴ab?1,c,d关于x?5对称，即则abcd?cd?c(10?c)?-c?10c
2-c?5）?25?（24,25）=（.
故选B.
2f(a)?f(b)=f(c)，求a?b?f(c)的取值范围是
??cos?x,0?x?46. 已知函数f(x)??，若a?b?c，2???x?5,x?4且f(a)?f(b)=f(c)，求a?b?c的取值范围 是
解：作出函数f(x)的图象如图：
设f(a)?f(b)?f(c)?t，由图象知1?t?2，
|x|2?t得|x|?log2t， 由
解：根据余弦函数的对称性可得a+b=4．且4＜c＜6． ∴a+b+c=4+c．∴8＜a+b+c＜10． 故答案为：（8,10） 7. 已
知
函
数
即x=?log2t,即a??log2t,b?log2t,f(c)?t,
若f(x)?x|x?2|，
直线y?a与f(x)的图象有三个交点A,B,C,它们的横坐标分别为a,b,c，
则a?b?c的取值范围是（ ）
（1,2）. 则a?b?f(c)?-log2t?log2t?t?t?故答案为：(1,2)
5.函数f(x)???|log4x|,0?x?4，若
a?b?c?d，2x?10x?25,x?4?且f(a)?f(b)=f(c)=f(d)，求abcd的范围（ ）
（4，3?2）（4，4?2）A. B. （3，4?2）（3，5?2）C. D.
2
（24,25）（0,25）A. [24,25] B. C. D.[0,25]
23等高线问题的处理策略
