课时跟踪检测 (五十九) 参数方程
??x＝cos θ，
1．已知P为半圆C：?
??y＝sin θ
(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为
π
(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．
3
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程． π
解：(1)由已知，点M的极角为，
3π
且点M的极径等于，
3
?ππ?故点M的极坐标为?，?． ?33?
3π??π
(2)由(1)知点M的直角坐标为?，?，A(1,0)．
6??6
?π?x＝1＋?－1?t，???6?
故直线AM的参数方程为?
3πy＝??6t
(t为参数)．
2．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为
?π?极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈?0，?．
2??
(1)求C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)＋(y－3)＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－2)＋y＝4(0≤y≤2)，
??x＝2＋2cos t，
则C的参数方程为?
?y＝2sin t?
2
2
2
2
(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD的斜率k＝3－03
＝． 5－23
由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t满足tan t＝所以，切点的直角坐标为?2＋2cos
3π
，t＝， 36ππ，2sin?， 66??
?
?
即(2＋3，1)．
??x＝6cos θ，
3．(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为?
??y＝4sin θ
(θ为参数)，在
??
同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换?1
y′＝y??4
(1)求曲线C′的普通方程；
x′＝x，
1
3
得到曲线C′．
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
??x＝6cos θ，
解：(1)将?
?y＝4sin θ，?
1
x′＝x，??3
代入?1
y′＝??4y，
得曲线C′的参数方程为
?x′＝2cos θ，?
???y′＝sin θ，
∴曲线C′的普通方程为＋y＝1．
4(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)， 又D(1,3)，且AD的中点为P，
??x0＝2x－1，∴?
?y0＝2y－3?
x2
2
又点A在曲线C′上，
∴代入C′的普通方程＋y＝1，
4得(2x－1)＋4(2y－3)＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)＋4(2y－3)＝4．
??x＝tcos α，?4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：
?y＝tsin α?
2
2
2
2
x2
2
(t为参数，t≠0)，
其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，
C3：ρ＝23cos θ．
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2y＝0， 曲线C3的直角坐标方程为x＋y－23x＝0．
2
2
2
2
?x＋y－2y＝0，联立?2
?x＋y2－23x＝0，
22
解得?
?x＝0，???y＝0
3
?x＝?2，或?
3y＝??2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
?33?
，?． ?22?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中0≤α＜π．
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4?sin?α－5π
当α＝时，
6
|AB|取得最大值，最大值为4．
????
π???． 3???
?x＝2＋tcos α，
5．(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?y＝3＋tsin α
(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρπ??＝8cos?θ－?． 3??
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值． π??解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos?θ－?，
3??即ρ＝4ρcos θ＋43ρsin θ，
因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4x－43y＝0， 其表示以(2,23)为圆心，半径为4的圆． (2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：
2
2
2
t2－23sin α·t－13＝0，
所以t1＋t2＝23sin α，t1t2＝－13， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝
23sin α2
t1＋t2
－13
2
－4t1t2
＝12sinα＋52，
2－4×
因此|AB|的最小值为213，最大值为8．
6．(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l??x＝t－1，
的参数方程为?
?y＝t＋2?
(t为
参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝
31＋2cosθ2
．
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程； (2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围． 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0． 曲线C的直角坐标方程为3x＋y＝3． (2)∵曲线C的直角坐标方程为3x＋y＝3， 即x＋＝1，
3
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．
2
2
2
2
2
y2
∴d＝
?2sin?π－α?＋3???6??
|cos α－3sin α＋3|????
2
＝
2
?π?2sin?－α?＋3?6?＝．
2
∴d的最小值为
12＝
2552，d的最大值为＝． 222
∴
252?252?
≤d≤，即d的取值范围为?，?． 222??2
??x＝1＋t，7．(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?
?y＝t－3?
(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的2cos θ极坐标方程为ρ＝． 2
sinθ(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
2cos θ22
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρsinθ＝2ρcos θ， 2sinθ所以曲线C的直角坐标方程是y＝2x． 由直线l＝0，
??x＝1＋t，
的参数方程?
?y＝t－3?
2
得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4
所以直线l的普通方程为x－y－4＝0．
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y＝2x，得t－8t＋7＝0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝8，t1t2＝7， 所以|AB|＝2|t1－t2|＝2×
2
2
t1＋t2
2
－4t1t2＝2×8－4×7＝62，
2因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝
|－4|
＝22， 1＋1
11
所以△AOB的面积是|AB|·d＝×62×22＝12．
228．在平面直角坐标系xOy??x＝acos φ，
C2的参数方程为?
?y＝bsin φ?
??x＝cos t，
中，曲线C1的参数方程为?
?y＝sin t?
(t为参数)，曲线
(a＞b＞0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交π
点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
2
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； (2)设当α＝
ππ
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交44
点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，
当α＝0时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0)，(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，当α＝是(0,1)，(0，b)，
因为这两个交点重合，所以b＝1．
(2)由(1)可得，曲线C1，C2的普通方程分别为x＋y＝1，
2
2
π
时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标系分别2
x2
π2
＋y＝1，当α＝时， 94
射线l与曲线C1的交点
A1?
2??2?310310?
，?，与曲线C2的交点B1?，?； 2?10??2?10
π
当α＝－时，射线l与曲线C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，
4
高考数学(文)大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 (五十九) 参数方程 word版含答案
