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2024-2024 年高考数学压轴题集锦 —— 导数及其应用（五）
46.已知函数 f ( x)
（Ⅰ）当 a （Ⅱ）若函数
x2
ax 4 （ a Ｒ）的两个零点为 x1, x2 , 设 x1 x2 .
0 时，证明：
g (x)
2 x1 0 ．
x2 | f ( x) |在区间 (
, 2)和(2, ) 上均单调递增，求 a 的取值范围 .
2
47.设函数 f ( x) （Ⅰ）若 a （Ⅱ）设函数
x ax ln x （ a R ）．
1时 ,求函数 f (x) 的单调区间；
有两个零点，求实数 f ( x) 在 [ , ]
e
1
a 的取值范围．
e
48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ， g (x) （Ⅰ）若 b
x2 ax ln x ．
a ，使得 F ( x) 在 x 1
1, F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数
y
处存在切线且该切线与直线
1
2
x 平行，若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理
3 f (x)
1
由 ．
（Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值 ．
1
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49.设函数 f ( x) x ln x b(x
1
) (b R) ，曲线 y f x 在 1,0 处的切线与直线
2
2
y 3x 平行．证明：
（Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,
) 上单调递增；
（Ⅱ）当 0 x 1 时， f x
1.
50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+1 2 x
， a∈ R.
x 2
（I ）讨论 f（ x）的单调性；
（II ）当 a=1 时，证明 f（ x）＞ f’（ x） + 3
对于任意的
x∈ [1,2] 恒成立。
2
2
51.已知函数 f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R．
（1）若函数 f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数
a 的取值范围；
（2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数 a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数（ x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （ 3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2
－ 5
x＞ (x+1)ln x．
2
2
----- g
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1
52.已知函数 f（x） = 3 x3－ ax+1．
（ 1）若 x=1 时， f（ x）取得极值，求 a 的值；
（ 2）求 f（ x）在 [0， 1]上的最小值；
（ 3）若对任意 m∈ R，直线 y=﹣ x+m 都不是曲线 y=f（ x）的切线，求 a 的取值范围．
53.已知函数
f x
axex （ a 0）
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）若关于
x 的不等式
f
x
ln x x
4 的解集中有且只有两个整数，求实数
范围 .
54.已知函数 f1n
x
xn 1
, ge, n,me为正整数，m x mx
mx （其中 m
对
x
1
数的底）
（1）证明：当 x 1 时， gm x 0 恒成立；
（ 2）当 n m
3 时，试比较 f n m 与 fm n 的大小，并证明 .
3
----- a 的取值
e 为自然
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