章末复习提升课
平面向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
→
EB＝( )
3→1→
A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
→→→
(2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝( )
4A. 3C.15 8
5B. 3D.2
→→→1→1→11→
【解析】 (1)法一：如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋
2222→
AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A.
3→1→→→→→1→→11→→
法二：EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选A.
22244
→→→→→→→→1→→→
(2)因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ(AB＋AD)＋μ(－AB＋AD)＝
24λ＝，??3?1→→→→??(λ－μ)错误！未定义书签。＋?λ＋μ?AD，且AC＝AB＋AD，所以?1得??2?1λ＋μ＝1?μ＝?2??3，
1→
2
→
3→1→44
?λ－μ＝1，
5
所以λ＋μ＝，故选B.
3
【答案】 (1)A (2)B
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，
则实数k的值为( )
A．2 11C．
4
1B． 211D．－ 4
解析：选B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，由(a＋kb)∥c，得1
－5(k－1)＝k＋2，解得k＝，故选B.
2
平面向量数量积的运算
如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，
AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为( )
A.C.21 1625 16
3B. 2D.3
→→
【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，
B(1，0)，D?－，
3??1
?－，?， ?22?
?1?23?3?→→?3
?，设C(1，m)，E(x，y)，所以DC＝?，m－?，AD＝2?2??2
3?1?3?3??13?3??3
因为AD⊥CD，所以?，m－?·?－，?＝0，即×?－?＋?m－?＝0，解得m＝
2?2?2?2??22?2??23，即C(1，3)，因为E在CD上，所以33?3?→→
≤y≤3，由CE∥DC，得(x－1)?3－?＝(y22?2?
→→→→
－3)，即x＝3y－2，因为AE＝(x，y)，BE＝(x－1，y)，所以AE·BE＝(x，y)·(x－1，y)＝x－x＋y＝(3y－2)－3y＋2＋y＝4y－53y＋6，令f(y)＝4y－53y＋6，y∈
2
2
2
2
2
2
?3??353??53?2
?，3?.因为函数f(y)＝4y－53y＋6在?，?上单调递减，在?，3?上单调递
8??2??2?8?
5321?53?2
增，所以f(y)min＝4×??－53×8＋6＝16.
?8?
21→→
所以AE·BE的最小值为，故选A.
16【答案】 A
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3π
1．已知向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
4解析：a·(a－2b)＝a－2a·b＝2－2×2×2×?－答案：6
→→→→→→
2．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，→→
则AM·NM等于________．
→→→→3→
解析：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，
41→1→→→→
NM＝CM－CN＝－AD＋AB，
43
1→→11→→1→→→2→222
所以AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB－9AD)＝(16×6－9×4)＝9.
4124848答案：9
向量的夹角及垂直问题
(1)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
2
?
?2?
?＝6. 2?
(2)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b的夹角为( ) A．30° C．60°
B．45° D．以上都不对
【解析】 (1)因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)， 所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－(a＋b)，所以c＝(a＋b)， 即|c|＝|a|＋|b|＋2|a||b|cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ，
1
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.
2【答案】 (1)B (2)C
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
2
2
2
2
2
1．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________． 解析：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)． 由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0， 即m＋1＝0，得m＝－1. 答案：－1
2．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则
a－b与b夹角的大小为________．
解析：因为非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，所以a＝a·b，由|a－b|＝|a|可得a－（a－b）·b22
2a·b＋b＝a，解得|b|＝2|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝
|a－b||b|
2
2
a·b－|b|2|a|2－2|a|22
＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. 2
|a||b|22|a|
答案：135°
向量的长度(模)与距离的问题
π→
已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，
6
→
AC＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD|等于( )
A．2 C．6
B．4 D．8
→
1→1→→→22
【解析】 因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|＝4(a－b)＝
22π→??22
4(a－2b·a＋b)＝4×?3－2×2×3×cos ＋4?＝4，则|AD|＝2.
6??
【答案】 A
解决向量模的问题常用的策略
(1)应用公式：|a|＝x＋y(其中a＝(x，y))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则．
(3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|＝(a±b).
2π
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a3
－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A．3
B．23
2
2
2
2
2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用章末复习提升课学案 新人教A版必修第二册
