25. （本题满分14分，第（1）、第（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）
如图已知：AB是圆O的直径，AB?10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M为弦BC的中点．
（1）如果AM交OC于点E，求OE:CE的值； （2）如果AM?OC于点E，求?ABC的正弦值；
（3）如果AB:BC?5:4，D为BC上一动点，过D作DF?OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．
探究一：设BD?x，FO?y，求y关于x的函数解析式及其定义域． 探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．
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2024~2024学年上海市宝山区九年级二模数学试卷
参考答案
一、选择题
1 C
二、填空题
7 8 9 9? 415 外切 10 ?1?x?1 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 11 x?1 a3 13 1500
三、解答题
a(a?1)(a?1) 14 2y? x16 12 17 6 12 1 918 2或3 （答一个即可） 1?1??(3??)2 19. 解：???(?2024)0?2?cot30??2??2=4?1?12?3???3..........................................................................................................8分
???2?(2?3)???3..................................................................................................2分
（其中主要得分点为：负指数、零指数、特殊角三角比、二次根式性质等）
20. 解：16?x?2?(x?2)2.......................................................................................................3分 x2?3x?10?0
(x?5)(x?3)?0...................................................................................................................3分 x1??5，x2?2....................................................................................................................2分
经检验x??5是原方程的解，x?2是增根（舍去）......................................................2分 ②原方程的解是x??5
（其中主要得分点为：去分母、因式分解、化简、解方程、检验）
21. 解：（1）②如图DFGH为顶点在△ABD边长的正方形
GFAF.........................................................................................................................3分 ?BDAD将AD?12，GF?DF?4代入得：BD?6，.................................................................2分 （2）②BC=11，BD=6，②CD=5......................................................................................1分
②
在直角△ADC中，AC2?AD2?DC2，
②AC?13............................................................................................................................1分 ②E是边AC的中点，
②ED?EC..........................................................................................................................1分 ②?EDC??ACD...............................................................................................................1分
7
5............................................................................................1分 13（其中主要得分点为：相似性质、比例式、解方程、勾股定理、直角与等腰②性质、三角比）
②cos?EDC?cos?ACD?22. 解：（1）选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y?10x?150.....................2分
选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y?20x..........................................2分 根据题意，分别求出A(0,150)、B(15,300)、C(45,600)...............................................3分 ②当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算…..3分
（其中主要得分点为：函数解析式、读函数图像解决实际问题、数学语言表述、不重不漏分类原则）
23. 解：（1）证明：由折叠得到EC垂直平分BP，..............................................................1分
设EC与BP交于Q，
②BQ?EQ..........................................................................................................................1分 ②E为AB的中点，
②AE?EB，.......................................................................................................................1分 ②EQ为△ABP的中位线，
②AF②EC，.....................................................................................................................2分 ②AE②FC，
②四边形AECF为平行四边形；.......................................................................................1分 （2）②AF②EC，②?APB??EQB?90?...................................................................1分 由翻折性质?EPC??EBC?90?，?PEC??BEC........................................................1分 ②E为直角△APB斜边AB的中点，且AP?EP，
②△AEP为等边三角形，?BAP??AEP?60?，......................................................1+1分 ?CEP??CEB?180??60??60?.......................................................................................1分 2在△ABP和△EPC中，?BAP??CEP，?APB??EPC，AP?EP
②△ABP②△EPC（AAS）．...........................................................................................1分
?b??2a??1?a??1??24. 解：（1）依题意得：?a?b?c?0，解之得：?b??2，.............................................3分
?c?3?c?3???②抛物线的解析式为y??x2?2x?3．..........................................................................1分 （2）②对称轴为x??1，且抛物线经过A(1,0)，②B(?3,0)
②直线BC的解析式为y?x?3. ?CBA?45?..........................................................1分 ②直线BD和直线BC的夹角为15?， ②?DBA?30?或?DBA?60?.........................1分 在△BOD，DO?BO?tan?DBO，BO?3....................................................................1分 ②DO?
33或33，②CD?3?或33?3..............................................................1分 338
（3）设P(?1,t)，又B(?3,0)，C(0,3)，
②BC2?18，PB2?(?1?3)2?t2?4?t2，PC2?(?1)2?(t?3)2?t2?6t?10，
②若点B为直角顶点，则BC2?PB2?PC2即：18?4?t2?t2?6t?10解之得：t??2， ②若点C为直角顶点，则BC2?PC2?PB2即：18?t2?6t?10?4?t2解之得：t?4， ②若点P为直角顶点，则PB2?PC2?BC2即：4?t2?t2?6t?10?18解之得： t1?3?173?17，t2?. ................................................................................................4分 223?173?17)或(?1,). 22综上所述P的坐标为(?1,?2)或(?1,4)或(?1,
25. 解：点O作ON//BC交AM于点N，.............................................................................1分
ONAO1??..................................................................................1分 BMAB2ONON1点M为弦BC的中点??..............................................................................1分
CMBM2OE:CE?1:2......................................................................................................................1分
AB是圆O的直径，
（2）点M为弦BC的中点OM?BC..............................................................................1分
AM?OC于点E，?OME??MCE，△OME②△MCE...........................................1分
ME2?OE?CE 设OE?x，则CE?2x，ME?2x...............................................1分
在直角△MCE中，CM?6x， sin?ECM?sin?ABC?3 33.....................................................1分 3过点D作DL?BO于点L，AB?10，AB:BC?5:4，BC?8， ……………1分
5447设BD?x，则CD?8?x，BL?DL?x，CH?(8?x)，OH?CO?CH?x?
855547x?OHFOy5?，5....................................................................................1分 ?55LDFLxy?5?x88
20x?3577 （其中?x?）...............................................................................1+1分 742以O为圆心，OF为半径的圆经过D y?5OC垂直平分DF，FO?OL，y?5?x.....................................................................1分
8
20x?355112........................................................................................1分 ?5?x， x?7819
此时BD?
9
112． 19
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