2005年考研数学一真题 2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） x2（1）曲线y? 的斜渐近线方程为 _____________. 2x?1（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为. ____________. 19?x2y2z21?u??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n?61218?n3（4）设?是由锥面z?的外侧，则(1,2,3)=.________. x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________. ?（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵 A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则 P{Y?2}=____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?数，则必有 ?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有一阶导?2u?2u?2u?2u(A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y - 1 - / 17 2005年考研数学一真题 ?2u?2u?2u?2u?(C) . (D) . [ ] ??x?y?x2?x?y?y2（10）设有三元方程xy?zlny?e内该方程 (A) (B) (C) (D) xz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ] （11）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是 (A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ] （12）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B. (C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则 (A) nX~N(0,1) (B) nS~?(n). 22**********2(n?1)X12(n?1)X~t(n?1) (D) n(C) ~F(1,n?1). [ ] S?Xi2i?2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设D?{(x,y)x?y?222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二 - 2 - / 17 2005年考研数学一真题 重积分??xy[1?xD?2?y2]dxdy. （16）（本题满分12分） 求幂级数?(?1)n?1n?1(1?1)x2n的收敛区间与和函数f(x). n(2n?1)（17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分?(x032?x)f???(x)dx. （18）（本题满分12分） 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??； （II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （19）（本题满分12分） 设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数. （I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有??(y)dx?2xydy2x2?y4L??(y)dx?2xydy2x?y24C?0； （II）求函数?(y)的表达式. （20）（本题满分9分） 222已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2. （I） 求a的值； （II） 求正交变换x?Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形； （III） 求方程f(x1,x2,x3)=0的解. （21）（本题满分9分） ?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.. （22）（本题满分9分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 - 3 - / 17 2005年考研数学一真题 f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x, 0,其他.?求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z?2X?Y的概率密度fZ(z). （23）（本题满分9分） 设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn). - 4 - / 17 2005年考研数学一真题 2005年考研数学一真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） x211（1）曲线y? 的斜渐近线方程为 y?x?. 2x?124【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. f(x)x21?lim2?， 【详解】 因为a=limx??x??2x?xx2 b?lim?f(x)?ax??limx???x1??， x??2(2x?1)4于是所求斜渐近线方程为y?11x?. 241911xlnx?x.. 39（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为y?【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式： ?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]， y?e??再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y??于是通解为 y?e=?2y?lnx， x?xdx2?xdx2[?lnx?edx?C]?1?[?x2lnxdx?C] 2x111xlnx?x?C2， 39x111由y(1)??得C=0，故所求解为y?xlnx?x. 939?x2y2z21?u??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n?61218?n3【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量n?{cos?,cos?,cos?}的方向导数为： (1,2,3)=3. 3? ?u?u?u?u?cos??cos??cos? ?n?x?y?z因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 ?ux?uy?uz?，?，?，于是所求方向导数为 ?x3?y6?z9 - 5 - / 17
【考研数学】2005年数学一真题、标准答案及解析
