数学20分钟专题突破27 有限与无限的思想
一.选择题
1 某个命题与正整数n有关，若n????N*时该命题成立，那么可推得??n?1时该命题也成立，现已知n?5时，该命题不成立，则可以推得（ ）
A n?6时该命题成立 B n?6时该命题不成立 C n?4时该命题成立 D n?4时该命题不成立 2.下面四个命题中：
（1）若?an?是等差数列，则?an?的极限不存在；
（2）已知an??1，当n??时，数列?an?的极限为1或-1。 （3）已知liman?A，则liman?A。
n??????nn?? （4）若an??1??n?11，则n?1010，数列?an?的极限是0。 n其中真命题个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4 3 如果limqn存在?q?R?，则q的取值范围是（ ）
n?? A ?1?q?1 B ?1?q?1 C 0?q?1 D ?1?q?1 4 已知liman?A，那么数列在区间?A??,A???(?为任意小的正数）外的项有（ ）
n?? A 有限多项 B 无限多项
C 0 D 有可能有限多项也可能无限多项 5 下列数列中存在极限的是（ ）
?1???n??1???n??1??1??n????nA ?? C ?a??a?1? D ?? B ?sin?
2?2n?????????
二.填空题
31??2n3x1.设常数a?0，?ax2?展开式中的系数为，则lim(a?a?????a)?_____。 ?n??2x??
42.在数列{an}在中，an?4n?5，a1?a2?2an?an2?bn，n?N*,其中a,b为常数，则
an?bnlimn的值是 . n??a?bn
2an?n23.设等差数列?an?的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim? ．
n??Sn三.解答题
已知数列?an?满足a1?a,an?1?1?1an我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当
3511a?1时，得到无穷数列：1,2,,,?;.当a??时,得到有穷数列：?,?1,0.
2322（Ⅰ）求当a为何值时a4?0；
1（Ⅱ）设数列?bn?满足b1??1, bn?1?(n?N?)，求证：a取数列?bn?中的任
bn?1一个数，都可以得到一个有穷数列?an?；
（Ⅲ）若
3?an?2(n?4)，求a的取值范围. 2答案： 一.选择题
1 D 解析：由已可知，该命题满足数学归纳法定义，即存在某自然数N，当n?N时，对所
有n 均成立，而n?5时，命题不成立，是针对命题不成立中的有限项，显然针对n?4时，
命题不会成立。，故选D。
2 A 解析：若?an?为常数列，可知（1）为假命题；而由极限存在的唯一性，可知（2）也为
假命题；对于（3）满足极限定义可知是正确的；对于（4），由于n?1010与极限定义矛盾，应该趋于该数时的项，即不为0，故（4）也为假命题。故选A。
3 D 解析：当q?1时limqn?0，q?1极限显然不存在，而q?1时，可得q?1为常数数
n??n列存在极限，q??1时，qn为摆动数列，极限不存在，故选D。
4 B解析：由liman?A，存在自然数N，当n??时，an无限趋于A，而数列在区间
n??，即所有趋于A的项应该有无数多项，选B。 ?A??,A???(?为任意小的正数）
5 D解析：容易知道A应该为项为0和2的摆动数列，不存在极限；B为包含三个项1，0，-1
循环出现的数列，不存在极限；C一定不存在极限；而D中为两个特征列0,时
1，而n??n1?0，故极限存在，故选D。 n1?r21?r2二.填空题 1. 解析Tr?1?Car44?rx8?2rx，由x8?2rx4?r?x3,得r?2,由Cr??a?4a321，所以21lim(a?a2?????an)?2?1，所以为lim(a?a2?????an)?1。
n??n??11?253n(n?1)?4 2.【答案】由an?4n?知，故a1?a2?an?n?{an}是公差为4的等差数列，
222b1n1?()n1?()nn1a?b2a4?an?bn，解得a?2，b??，从而limn?lim?lim?1.
n??a?bnn??bnn??1n21?()1?()a4n(n?1)?2 3.【答案】设首项为a1，则an?a1?2(n?1)?2n?a1?1，Sn?na1?2?n2?n(a1?1)，
高三数学高考专题训练20分钟专题突破(27)
