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第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 第一类曲线积分
1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：
（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;
（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;
（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S?（2）M??ds;
L?L?(x,y)ds;
y?(x,y)ds?, y???(x,y)dsLLx?(x,y)ds? （3）x?, ??(x,y)dsLL （4）Ix??Ly2?(x,y)ds, Iy??x2?(x,y)ds, I0??(x2?y2)?(x,y)ds
LLx2y2??1,其周长为a,求?(3x2?4y2)ds. 2.（1）设L为椭圆
L43 （2）设L为圆周x?y?64,求
22?Lx2?y2ds.
x2y2??1,即3x2?4y2?12, 解 （1）L：43从而
?(3xL2?4y2)ds=?12ds=12?ds=12a.
LL22 （2）L：x?y?64, 从而
?Lx2?y2ds=?8ds=8?ds=8?2π?8=128π.
LL22(x?y)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. ?Ly 3.计算
解 如图10.1所示,
1 L1：y?0,x从0?2,
L2：x?0,y从0?1, L3：x?2?2y,y从0?1, 精品文档
L3:x?2?2yL1 图 10.1
2 L2O x精品文档
ds?1?(从而
dx2)dy?5dy. dy?(xL2?y2)ds=?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds
L1L2L3 =
?20x2dx??y2dy?5?[(2?2y2)?y2]dy
001118152 =??5?(4?8y?5y)dy=3?5. 03334.计算
?Lx2?y2ds,其中L为曲线x2?y2?2x.
解1 L的参数方程为 L：??x?1?cos?, 0???2π. 计算出ds?d?,于是
?y?sin?,
?Lx2?y2ds=?2π02π?(1?cos?)2?sin2?d?=2?0cosd?
2
?2?u4?cosudu=8?cosudu=8.
0ππ20 解2 在极坐标系下,L:r?2cos?, ???ππ???.计算出ds?r2?r?2d?=2d?,于22是
?Lx?yds=?222??22cos??2d?=8?2cos?d?=8.
0?t?t?t5.求空间曲线x?ecost,y?esint,z?e(0?t???)的弧长.
解 ds?x?2(t)?y?2(t)?z?2(t)dt
?2t =e(?cost?sint)2?e?2t(cost?sint)2?e?2tdt
=3edt, 从而 s?3?t???0e?tdt?3.
6.有一铁丝成半圆形x?acost,y?asint,0?t??,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量. 解 ds? m?7.计算
(dx2dy2)?()dt=(?asint)2?(acost)2dt=adt. dtdtππ00222a?dsyds====. asint?adtasintdt?L?L???(xL2?y2?z)ds,其中L为球面x2?y2?z?a2与平面x?y?z?0的交线.
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解 由于x?y?z?a与x?y?z?0对x,y,z都具有轮换对称性,故 于是
222?Lx2ds=?y2ds=?z2ds,?xds=?yds=?zds.
LLLLL12=xds(?x2ds??y2ds??z2ds) ?LLL3La21222=?(x?y?z)ds=
33La223ds?2πa==πa. ?L33?x2?y2?z2?a2其中?ds为圆周?的周长,显然平面x?y?z?0过球面
L?x?y?z?0x2?y2?z2?a2
的球心O(0,0,0),所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2?a.又因为
?(y?z)ds=?LLyds??zds=0,
L所以
2322=πa. (x?y?z)ds?L3
第二节 第二类曲线积分
1.计算
(x?y)dx?(x?y)dy222x?y?a,其中为圆周（按逆时针方向绕行）. L22?Lx?y解 L:x?acost,y?asint,t由0到2π, 从而
I=? =
(x?y)dx?(x?y)dy
Lx2?y22?0?[(cost?sint)(?sint)?(cost?sint)cost]dt dt=?2π.
2=?2.计算
?2?0?(xL?y2)dx,其中L是抛物线y?x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.
2 解 I=
3.计算
?L(x2?y2)dx=?(x2?x4)dx=?056. 15?(2a?y)dx?xdy,其中L为摆线
Lx?a(t?sint),y?a(1?cost)
上对应t从0到2π的一段弧（图10.2）. 精品文档
图 10.2
最新西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分
