[基础题组练]
︵
1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是( )
A．(10，14) C．(10，12)
B．(12，14) D．(9，11)
解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，
圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，
由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，
故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.
4→→
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ＞1)，
3则λ的值为________．
pp→→
－x1，－y1?＝λ?x2－，y2?，故－y1解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得?2?2???py143
x－?，联立直线AB与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝λy2，即λ＝－.设直线AB的方程为y＝?y23?2?2
2
3y1y29192（y1＋y2）＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝2y2y144y1·y2λ4.
答案：4
y2x2
3．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．
ab(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．
y2x2
解：(1)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋
ab2＋（2＋2）2＝42，所以a＝22，b＝2，
y2x2
即椭圆C的方程是＋＝1.
84
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，22)，F(0，－22)， →→
OE·OF＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0， －4k－4
则x1＋x2＝， 2，x1x2＝2＋k2＋k2－4－4k2－8k220→→2
所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－8， 2＋2＋4＝2＋k2＋k2＋k220→→因为0＜2≤10，所以－8＜OE·OF≤2， 2＋k→→
所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．
x2y2
4．(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以
abF1F2为直径的圆与直线ax＋2by－3ab＝0相切．
(1)求椭圆C的离心率e；
→→
(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为42，求F2P·F2Q的最大值．
解：(1)由题意知|－3ab|a＋4b
22＝c，
则3a2b2＝c2(a2＋4b2)，
即3a2(a2－c2)＝c2[a2＋4(a2－c2)]， 所以a2＝2c2，所以e＝
2. 2
(2)因为△PQF2的周长为42， 所以4a＝42，即a＝2.
x22
由(1)知b＝c＝1，故椭圆方程为＋y＝1，且焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．
2
2
2
①若直线l的斜率不存在，则可得l⊥x轴，方程为x＝－1，P?－1，
?
2?2→，Q?－1，－?，F2P＝2?2??
2?→?→→7?－2，2?，FQ＝，故FP·F－2，－222Q＝. 22?2???
?y＝k（x＋1），?
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由?2消去y，得(2k2＋1)x22
??x＋2y＝2
＋4k2x＋2k2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
2k2－24k2
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2.
2k＋12k＋1
→→
所以F2P·F2Q＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2
22
4k2k－27k2－17922??2
＋1＝(k＋1)2＋(k－1)－2k2＋1＋k＋1＝2＝－，
??2k＋12k＋122（2k2＋1）
→→79
令t＝2(2k2＋1)，则F2P·F2Q＝－(t>2)，
2t7→→
－1，?. 所以F2P·F2Q∈?2??
7→→
－1，?， 结合①②，得F2P·F2Q∈?2??7→→
所以F2P·F2Q的最大值是. 2
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之1
积为－.记M的轨迹为曲线C.
2
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形； (ⅱ)求△PQG面积的最大值．
yy1x2y2
解：(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在
242x＋2x－2x轴上的椭圆，不含左右顶点．
(2) (ⅰ)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)． y＝kx，??222
由?xy得x＝±2. 1＋2k＋＝1??42记u＝
2
，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)． 1＋2k2kk
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．
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2020高考数学(理)大一轮复习配套练习：第九章10第9讲第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题含解析
