总习题四 求下列不定积分(其中a, b为常数): 1. ?dxe?exx?x; ??ee2xx 解 ? 2. ?dxe?ex?x?1dx??1e2x?1de?x12ln|e?1e?1xx|?C. (1?x)x3dx; 1(x?1)2 解 ? 3. ?(1?x)x6263dx???dxdx??1(x?1)3dx?1x?1?12(1?x)2?1?C. a?x(a>0); 113 解 ?x626a?xdx?3(a3)2?(x3)2?d(x)?16a3ln|x?ax?a3333|?C. 4. ?dx; x?sinx 解 ?dx??d(x?sinx)?ln|x?sinx|?C. x?sinxx?sinx 5. ?lnlnxxdx1?cosx11?cosx; 1?1dx?lnx?lnlnx?lnx?C 解 ? 6. ?lnlnxxdx??lnlnxdlnx?lnx?lnlnx??lnx?lnxx. sinxcosx1?sin4x4dx; sinx1?sin4 解 ?sinxcosx1?sinxdx??xdsinx?1?211?(sin2x)2d(sin2x)?12arctansin2x?C. 7. ?tan4xdx; 解 ?tanxdx?? ??134sincos42xxdtanx??tan22xsin1tan1322xdtanx tantan24xx?1dtanx??(tanx?1?x?1)dtanx ?tan3x?tanx?arctantanx?c?tan3x?tanx?x?c. 8. ?sinxsin2xsin3xdx;
解 ?sinxsin2xsin3xdx???(cos3x?cosx)sin3xdx 2 ???cos3xsin3xdx??cosxsin3xdx 22 ??cos3xd(cos3x)??(sin4x?sin2x)dx 64 ? 9. ? 解 ?112611111cos23x?116cos4x?18cos2x?C. dxx(x?4)dxx(x?4)6; 11x65??(?4xx?4)dx?14ln|x|?124ln(x?4)?C. 6dx(a?0); 10. ?a?xa?xdx??du?a?dx??dx? 解 ?222222a?xa?xa?xa?xa?xa?x1x ?aarcsin 11. ?dxx(1?x)xa?a?x22?C. ; 解 ?dxx(1?x)?2?11?(x)2dx?2ln(x?1?(x))?C?2ln(2x?1?x)?C. 12. ?xcos2xdx;
解 ?xcos2xdx??(x?xcos2x)dx?x2??xdsin2x 244 ?x2?4114xsin2x?14111?sin2xdx?14x?214xsin2x?18cos2x?C. 13. ?eaxcosbxdx; 解 因为 ?eaxcosbxdx??cosbxdea
1ax?1aeaxcosbx?b?eaaxsinbxdx
22 ?ea1axcosbx?ba2?sin22bxde(1aeax?1aeaxcosbx?ba2ba2eaxsinbx?ba?eaxcosbxdx, 所以 ?e ? 14. ?axcosbxdx?a2axa?bcosbx?eaxsinbx)?C 1a?bdx1?ex22eax(acosbx?bsinbx)?C. ; 解 ?dx1?ex令1?e?ux?1uxdln(u?1)?2?21u?12du??(1u?1?1u?1)du. ?ln|u?1u?1dx|?c?ln1?e?11?e?1x?c. 15. ?x2x?1dx令x?sect22; 解 ?x2x?12?1sec2t?tant?secttantdt??costdt?sint?C? ? 16. ? 解 ?x?1xdx?C. ; (a?x)dx225/2令x?asint25/2(a?x)2?1(acost)25?acostdt? ? ? ?1a4?41costan4tdt?1a31a4?(tant?1)dtant 13a13a43t?x24tant?C 1a42??23xa?x2?C. (a?x) 17. ?
dxx41?x2;
解 ?dxx4令x?tant21?xcostsin43?1tan4t?sect?sec2tdt ??t4dt??cossin224ttdsint 13sin3 ??(1sint?1sin3t)dsint??t?1sint?C ??(1?x)3x32?1?xx2?C. 18. ?xsin 解 ?xsinxdx; 令x?txdx?tsint?2tdt?2?tsintdt 2 ??2?t2dcost??2t2cost?2?cost?2tdt ??2t2cost?4?tdsint??2t2cost?4tsint?4?sintdt ??2t2cost?4tsint?4cost?C ??2xcosx?4xsinx?4cosx?C. 19. ?ln(1?x2)dx;
解 ?ln(1?x2)dx?xln(1?x2)??x? ?xln(1?x2)?2?(1?11?x22x1?x2dx )dx ?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C. 20. ? 解 ?sincossincos122323xxxxdx; sin2dx??xcosxdtanx??(tanx?2tanxtan2x?1)dtanx ?tan2x?ln(tan21x?1)?C. 21. ?arctan
xdx;
解 ?arctan ?xarctan ?xarctanxdx?xarctanx??(1??1x??x?)dx11?xdx 1?x x?x?arctanx?C ?(x?1)arctan 22. ?1?cosxsinx1?cosxsinxx?x?C. dx; 2cosx2x2dx?2?cscx2dx2?2ln|cscx2?cotx2|?C 解 ?dx??2sinx2. cos 23. ?x382(1?x)x38dx; 解 ?(1?x)2dx?14(1?x8)2?1dx411x4??[?arctanx]?C421?x84. 提示: 已知递推公式 ? 24. ? 解 ?dx(x?a)22n114?122a(n?1)(x?a)[x22n?1?(2n?3)?dx(x?a)22n?1]. x8x?3x?2x8114dx; 14x884x?3x?2dx??x?3x?2dx4令x?t144?t22t?3t?2dt? ??(1?41413t?2t?3t?2142)dt?14?(1?4t?2?1t?1)dt ?t?ln|t?2|?ln|t?1|?C 144 ?x?ln4x?1x?244?C. 25. ?dx16?x4;
总习题四高等数学同济大学第六版本
