但其中有人获得两项优秀,所以上面的计数产生了重复,重复人数应当减去, 即总人数变为:54﹣6﹣6﹣5=37,
又考虑到获得三项优秀的人,他们一开始被重复计算了三次,但在后来又被重复减去了三次,
所以最后还要将他们加进去. 即这个班学生数为:37+2=39. 18.解:(1)4×4×3×2×1=96种. 故化学不放在第1位,共有96种不同排法. (2)2×4×3×2×1=48种.
故语文与数学必须相邻,共有48种不同排法. (3)(5×4﹣2×4)×3×2×1=72种. 故物理与化学不得相邻,共有72种不同排法. (4)3×2×1×2×1=12种.
故文科书与理科书交叉排放,共有12种不同排法.
19.解:将人群分成三组,A组:直接上楼;B组:从电梯下楼;C组:从电梯上楼; 由于各种组合是有限的,因此最小值是存在的,那么在达到最小值时,下楼的人数是一个确定的值m,
除了1人不需要上下楼,上楼的人数为31﹣m,
这31﹣m个人分在A,C两组,由于A,C两组的地位均等,因此要达到最小值人数要相等,但涉及到整数有可能相差1人,
设A组的人有n,那么爬得最高的人要爬n层,3n分,
如果C组的人比A组的人数多2个以上,则C组爬得最高的人>=3(n+2), 这样如果我们从C组中移1个人到A组,将至少减少3(n+2)分, 而A组增加1人增加的分是3(n+1),显然会使总分减少, 同时B组的人数没有变动,分值没有变化, 由此说明了A,C组人数应当相等或相差1人, 基于以上分析,先考虑AC组人数相等的情况: 设A,C组人数均为x,B组人数为31﹣2x, 总分S=
=5x2﹣60x+496,
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当x==6,S最小=316.
20.解:(1)一共有12条:ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、
AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG;
(2)不可能.
用反证法证明.假设可能,那么将所有连接点染上黑、白两色,凡与黑点相邻的都是白点,凡与白点相邻的都是黑点. 若A是白点,则黑白点的分布如下表:
.
由于A与G都是白点,所以蚂蚁从A点出发,依次经过其它各点,到达G点的路线应为白→黑→白→黑→…→黑→白.其中有奇数个白点,这与图中共有偶数个白点相矛盾. ∴蚂蚁不可能从A点出发沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次,最后到达G点.
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初中数学竞赛之逻辑推理问题(含答案)
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