初中数学竞赛之逻辑推理问题
1．41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ （2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．
2．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同．
3．有50名同学站在操场上玩游戏，他们彼此间的距离都各不相等．每人手中有一把水枪，游戏规则是：每人都向离自己最近的人打一枪．试证明：每一个人至多挨了5枪． （提示：也就是要证明：假定有一个人至少挨6枪是不可能的）
4．把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．
5．一个口袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个．从袋中任意取球，如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同，那么至少要从袋中取出多少个球？
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6．环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．
7．有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题．证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．
8．对于平面上给定的25个点，如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1，那么在这些给定的点中，一定可以找到13个点，这13个点都位于一个半径为1的圆内．
9．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．
10．某夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人必须去一处，至多去两处游览．求证：至少有332人游览的地方完全相同．
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11．将2002张卡片分别标记1，2，3，…，2002的数，数字面朝上放在桌上．二位玩家轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止．先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方．请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？
12．从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的一个是另一个的整数倍．
13．证明：在21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1﹣1这n﹣1个数中，至少有一个数能被n整除（其中n为大于1的奇数）．
14．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款共有多少种？
15．圆周上有12个点，其中有一个是涂了红色，还有一个是涂了蓝色，其余10个是没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形，只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．试问以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数哪一种多？多多少？
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16．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？
17．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表
求这个班的学生数．
18．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上． （1）化学不放在第1位，共有多少种不同排法？ （2）语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？ （3）物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？ （4）文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？
19．山城电信大楼一架最多可以容纳32人的33层电梯出故障，只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层办公．请你设计一个方案，使电梯停在某一层，使得这32个人的不满意总分达到最小，并求出这个最小值．注意：有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼．
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20．如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝连上． （1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所经过的连接点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）．
（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连接点，恰好一次最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？
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初中数学竞赛之逻辑推理问题(含答案)
