第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
一、学前明考情——考什么、怎么考
[真题尝试]
1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] C．[2，32]
B．[4,8] D．[22，32]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距|2＋2|离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝22，可
2得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的11
最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范
22围是[2,6]．
2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
4A．－
3C.3
3
B．－
4 D．2
解析：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝
|a＋4－1|4
＝1，解得a＝－.
3a2＋1
3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－3y＋6＝0，∴kAB＝
3
，3
∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝23，∴|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
[把握考情]
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题． 常规角度 2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题． 主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档 1
创新角度 与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数相交汇考查最值或范围问题 二、课堂研题型——怎么办、提知能
圆的方程求法 [典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y＝k?x－1?，?
由?2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ??y＝4x
Δ＝16k2＋16＞0，故
2k2＋4
x1＋x2＝2. k
所以|AB|＝|AF|＋|BF| 4k2＋4
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
k4k2＋4
由题设知2＝8，
k解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， y＝－x0＋5，??0则? ?y0－x0＋1?2
2
?x＋1?＝＋16.?2?0
???x0＝3，?x0＝11，解得?或?
??y＝2y＝－6.?0?0
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [方法技巧]
1．确定圆的方程必须有3个独立条件
不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，
2
因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．
2．几何法在圆中的应用
在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．
[针对训练]
1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：选C 由题知直线AB的垂直平分线为y＝x，直线y＝x与x＋y－2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.
2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选B 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)b－1
??a＋1＝－1，
关于直线x－y－1＝0对称的点为C，设C(a，b)，则?a－1b＋1
??2－2－1＝0，
2
2
??a＝2，
得?
?b＝－2，?
所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.
直线与圆位置关系的判断 [典例感悟] 1．(2019·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相切 C．相离
B．相交 D．不确定
解析：选B 法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，|?a＋1?－?a－1?＋2a||2a＋2|
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.?a＋1?2＋?a－1?22a2＋24a2＋8a＋47a2－4a＋7
再根据r－d＝9－＝.而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－18022
2a＋2a＋1
2
2
＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．
3
法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由
??x－y＝0，?解得x＝－1，y＝－1， ?x＋y＋2＝0，?
即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．
2．(2019·湖北六市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交 C．相离
B．相切 D．相交或相切
解析：选B 依题意得，直线l的倾斜角为150°，所以直线l的方程是y＝tan 150°(x－1)＝－
|－3－1|3
(x－1)，即x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，故直线l33＋1
与圆相切．
3．直线y＝－围是( )
A．(3，2) C.
B．(3，3)
3
x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范3
?3，23?
3??3?23?
D.1，
3??
|m|1＋
解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝
＝1，解得m＝
23
(切点在第一象限)，所3
?3?2?3?
23
以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.
3
[方法技巧]
直线与圆位置关系问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.
切线问题
4
[典例] 已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． [解] (1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2. 因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P在圆C上． 又kPC＝
2－2－21
＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1.
kPC2＋1－1
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0. (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， 所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 则圆心C到切线的距离d＝
|k－2＋1－3k|
＝r＝2，
k2＋1
33
解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，
44即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 因为|MC|＝?3－1?2＋?1－2?2＝5，
所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1. [方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程2方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代代数法 入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 [提醒] 当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况． [针对训练]
1．(2019·陕西高三质检)已知圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是圆C外一点，
5
高考文科数学练习题圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
