专题2数形结合思想
数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.数形结合是历年高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中“以形助数”是其主要方面，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探求解题途径，对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果，对于解答题要重视数形转换的等价性论述，避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.
1．设命题甲：0 解析：将两个命题用数轴表示，如图：从图中可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件． 答案：充分不必要 2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均为坐标原点，它们的焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：如图，由题意知PF1＝10， PF2＝2c，且PF1>PF2. 2c 双曲线的离心率e双＝ 2a双＝ 2c ＝ c＝， 10－2c5－c2c PF1－PF2 又e双∈(1,2)，所以1< 352c2c2cc1 <2，得<<2；椭圆的离心率e椭＝＝＝＝＝，2c5－c2a椭PF1＋PF210＋2c5＋c5＋1 c c 12?所以e椭∈??3，5?. 12? 答案：??3，5? 3.设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上示的线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________. 解析：法一：由y＝f(x)是最小正周期为2的函数，得到函数y上的图象为如图所示的线段BD. 函数y＝f(x)在区间[1,2]上的图象是经过B(1,1)，D(2,2)的线段，求得f(x)＝x(x∈[1,2])． 法二：当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋2；当x∈[－1,0]时，f(x)＝f(－x) x＋2(0≤－x≤1)，由最小正周期为2，得当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x. 答案：x 4．若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有两个不同的解，则实数m的取值范围是________． 解析：原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0 在同一坐标系中画出它们的图象(如图)．由原方程在(0,3)内有两解，图象只有两个公共点，可见m的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1) f?a?f?b?f?c? 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是________． abc f?x? 解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图，而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，xf?a?f?b?f?c? 由图象可知<<. abc 知y1与y2的＝－(－x)＋2＝由待定系数法，＝f(x)在区间[1,2]的图象为如图所 f?a?f?b?f?c?答案：<< abc [典例1] 已知a，b为不共线的向量，设条件M：b⊥(a－b)；条件N：对一切x∈R，不等式|a－xb|≥|a－b|恒成立．则M是N的________条件． [解析] 法一：构造直角三角形OAB，其中a＝OA―→，b＝OB―→，xb＝OD―→，则a－b＝BA―→，由b⊥(a－b)得∠ABO＝90°. 当点D与点B不重合时，由斜边大于直角边得|a－xb|>|a－b|； 当点D与点B重合时|a－xb|＝|a－b|.反之也成立，故M是N的充要条件． 法二：将不等式|a－xb|≥|a－b|两边平方后转化为b2x2－2(a·b)x＋2a·b－b2≥0对于任意实数x恒成立?Δ＝4(a·b)2－4b2(2a·b－b2)＝4(b2－a·b)2≤0，?b2－a·b＝0?b·(b－a)＝0?b⊥(a－b)． [答案] 充要 本题是判断向量条件与数量条件之间的关系，利用向量加、减运算的几何意义构造三角形，可使向量、数量关系具体化． [演练1] 已知OA＝(3，－4)，将OA绕着原点逆时针旋转45°后得到向量OD，则D点的坐标为________． 解析：法一：设D(x，y)，OA与OD的夹角为θ， 由题意可得| OD|＝| OA|，cos θ＝ 2 ， 2 ?所以?3x－4y 2＝?252， x2＋y2＝25， ? 解得?2 y＝－?2 7 x＝2，2 ?x＝－22，或? 72y＝－.?2 又OD是由OA绕着原点逆时针旋转45°所得，由图可知D坐标为? 722?. ，－2??2 三角函数逆时针旋 法二：如图，将OA所在射线看作α的终边，x正半轴看作始边，由定义可得A(5cos α，5sin α)，即OA＝(5cos α，5sin α)，又将OA绕着原点 转45°后得到向量OD， ?α＋π?，5sin?α＋π?? 所以OD＝?5cos??4??4?? ＝?＝? 22??5cos α－5sin α?，?5sin α＋5cos α? 2?2?722?. ，－2??2 722? ，－2??2 答案：? [典例2] x2y2 已知A(1,1)为椭圆＋＝1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点．求PF1＋PA的最大值和最 95小值． x2y2 [解] 由＋＝1可知a＝3，b＝5，c＝2，左焦点F1(－2,0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，PF1＝ 952a－PF2＝6－PF2， ∴PF1＋PA＝6－PF2＋PA＝6＋PA－PF2. 如图：由|PA－PF2|≤AF2＝ －2≤PA－PF2≤2. 当P在AF2延长线上的P2处时，右边取等号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，左边取等号． 即PA－PF2的最大、最小值分别为2、－2. 于是PF1＋PA的最大值是6＋2，最小值是6－2. 圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形，借助定义数形结合求解． [演练2] 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________． 解析：点Q(2，－1)在抛物线y2＝4x的内部，要使点P到点Q(2，点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知， 需使点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线准线距离之和取得 最小，即PQ⊥－1)的距离与 ?2－1?2＋?0－1?2＝2知 1 ，－1?. 准线l时最小．则P??4? 1 ，－1? 答案：??4? [典例3] 函数f(x)＝(2x－1)2，g(x)＝ax2(a>0)，满足f(x) 要使满足不等式(2x－1)2 f(5)>g(5)g(x)＝ax2一个交 ??49<16a，4981 即可．由?得 1625 ??81>25a， 4981?[答案] ??16，25? 当不等式的解集不易求出时，可构造函数，利用函数的图象直观寻找不等式成立的条件． [演练3] 已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________． 11解析：易知a≠0，由f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x|－＝－x， 2a111 函数y1＝|x|－，y2＝－x的图象(如图所示)，由图易知当0<－<1或－1< 2aay1和y2的图象有两个不同的交点， 即当a<－1或a>1时，函数y＝f(x)有且仅有两个零点． 所以a的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) [专题技法归纳] 1．数形结合，数形转化常应用于以下几个方面： (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数与图象的对应关系，导数的几何意义； (3)解析几何中方程的曲线与方程的关系； (4)以几何元素和几何条件为背景建立的概念，如三角函数和向量； 分别画出1 －<0时，a (5)所给代数式的结构含有明显的几何意义，如斜率、截距和距离等． 2．数形结合的思想简而言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，充分利用图形的直观性和代数推理的合理性和严密性研究问题． 1．已知函数f(x)＝|2x－1|，若a － ④2a＋2c<2. 解析：画出f(x)的图象如下： 由图象可得：a<0，c>0，b在(a，c)之间，但符号不确定，排除①②，因为a<0 答案：④ ??g?x?＋x＋4，x 2．设函数g(x)＝x－2，f(x)＝?则f(x)的值域是________． ?g?x?－x，x≥g?x?.? 2 解析：依题意知f(x)＝ 22 ??x－2＋x＋4，x 2 ??x－2－x，x≥x－2， 2 ??x＋x＋2，x<－1或x>2， 即f(x)＝? 2??x－2－x，－1≤x≤2. 9 －，0?∪(2，＋∞)． 由图象得f(x)值域为??4?9 －，0?∪(2，＋∞) 答案：??4? 3．已知u≥1，v≥1且(logau)2＋(logav)2＝loga(au2)＋loga(av2)(a>1)，则loga(uv)的最大值为________，最小值为________． 解析：令x＝logau，y＝logav， 则已知式可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)． 再设t＝loga(uv)＝x＋y(x≥0，y≥0)，则当线段y＝－x＋ t(x≥0，y≥0)与圆弧 (x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)相切时，如图截距t取最大值tmax＝2＋22(图中CD位置)；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin＝1＋3(图AB位置)．因此loga(uv)的最大值是2＋22，最小值是1＋3. 答案：2＋22 1＋3 4．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知2x＋4x＋1，x<0，?? 函数f(x)＝?2则f(x)的“友好点对”有________个． ??ex，x≥0， 解析：设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1， 22 ∴x＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝x、y2＝－2x2ee象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”． 答案：2 5．已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是________． 解析：由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点． ＋4x－1的图2 则y＝x，－y e 2 答案：9 b 6．(2012·江苏高考)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则的取值范围是 a________． 解析：由条件可得 ??ab ?c＋c≤4，ba??c≥ec， ab 3·＋≥5，cc 3x＋y≥5，??ab 令＝x，＝y，则问题转化为约束条件为?x＋y≤4，cc ??y≥e， x by 求目标函数z＝＝的取值范围．作出不等ax 式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域17?b ，时，zmax＝7，故∈[e,7]． 内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C??22?a 答案：[e,7] 7．设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________． 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d， 则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5， S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d， 2a＋3d≥5， ?? 因此求a的最值可转化为在线性约束条件?a＋2d≤3， ??a>0，d>0 1 4 11 下的线性目标 函数的最值问题， 作出可行域，如图 可知当a4＝a1＋3d，经过点A(1,1)时有最大值4. 答案：4 8．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________． 解析：如图，设弦AC，BD的中点分别为P，Q，连结OP，OQ，AC，OQ⊥BD，又AC⊥BD，故四边形OPMQ为矩形，设圆心O到AC， 22 别为d1，d2，则d21＋d2＝OM＝3.又AC＝2 OM，则OP⊥BD的距离分四 边 形 4－d21，BD＝24－d22， 1 ABCD的面积S＝AC·BD＝2 26 时，等号成立． 2 答案：5 222 ?4－d21??4－d2?≤8(d1＋d2)＝5，当且仅 当d1＝d2＝ 9．函数u＝2t＋4＋6－t的值域是________． 解析：可令x＝ 2t＋4，y＝ 6－t，消去t得：x2＋2y2＝16(0≤x≤4， 0≤y≤22)，与椭圆相切 所给函数化为含参数u的直线系y＝－x＋u，如图知umin＝22，当直线 ??y＝－x＋u， 于第一象限时u取最大值，此时由方程组?得3x2－4ux 22??x＋2y＝16， ＋2u2－16＝ 0，由Δ＝0?u＝±26，因直线过第一象限， ∴umax＝26，故所求函数的值域为[22，26]． 答案：[22，26] 10.如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝90°，AC＝2)沿x点A(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x图形的面积为________． 解析：作出点A的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．其段圆弧，一段是以C为圆心，CA为半径的四分之一圆弧；一段是以B为半径，圆心角为 3π1 的圆弧．故其与x轴围成的封闭图形的面积为42 轨迹为两为圆心，BAπ ×22×＋ 2轴滚动，设顶轴围成的封闭 113π ×2×2＋×(22)2×＝2＋4π. 224 答案：2＋4π 11.为加强安全防范，某商场在门前5 m处的灯杆上B处安装了一头，用来监视商场大门附近发生的情况．若商场门FG的高为h 紧接门上有一高为1 m的平面镜制的幕墙EF，探头安装在距离地面x 个监控探m(0 处，设探头通过平面镜的监控宽度为C′D′，如图所示，记C′D的长为y m(y＝GD′－GC′)． (1)当门的高度h＝3 m时，求监控宽度y关于x的函数关系式并求出函数的最大值； (2)为了使探头通过平面镜EF能监控到A点，即灯杆的下端点A在C′，D′之间(包括端点C′，D′)，C，D为C′，D′在平面镜中所成的像，问商场门的高h在什么范围时可以实现． FGGC 解：由题意知，△ACB∽△GCF，所以＝， ABAChGC5h即＝，解得GC＝.又△GDE∽△ADB， x5＋GCx－hh＋1GEGDGD所以＝，即＝， ABADx5＋GD 5h＋5 解得GD＝. x－h－1 (1)当h＝3 m时，由于C，D为C′、D′在平面镜中所成的GD′－GC′＝GD－GC， 2015 则y＝－， x－4x－35x 即y＝2(6≤x≤9)． x－7x＋12 像，所以y＝ 5?x2－7x＋12?－5x?2x－7?－5?x2－12?y′＝＝2. 222 ?x－7x＋12??x－7x＋12? 5x2015 当x∈[6,9]时，y′<0，所以函数y＝2在[6,9]上单调递减，所以当x＝6时，ymax＝－＝5. 23x－7x＋12(2)若探头通过平面镜EF能监控到A点，即GC′≤GA≤GD′. ? 所以GC′≤5≤GD′，即≤5≤在x∈[6,9]上总成立，即?5h＋5x－hx－h－1 ≥5， x－h－1? 5h 5h＋5 ≤5，x－h ＋2. 5h 解得2h≤x≤2h ??2h≥6，故? ??2h＋2≤9. 所以3≤h≤3.5，即h的范围为[3,3.5]． 11 12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a、b∈R，且b≥－2)，当x∈[－2，2]时，总有f′(x)≤0. 32(1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝－3f(x)＋mx2－6x(m∈R)，求证：当x∈[0,1]时，|g′(x)|≤1的充要条件是1≤m≤3. 121 解：(1)由条件，得f′(x)＝·3x＋a·2x＋b＝x2＋ax＋b， 32当x∈[－2，2]时，总有f′(x)≤0，结合f′(x)＝x2＋ax＋b的图 象，所以有 ??f′?－2?≤0，?2－a2＋b≤0， ① ?即? ?f′?2?≤0.??2＋a2＋b≤0. ② 由①＋②得，4＋2b≤0?b≤－2. 又b≥－2，∴b＝－2.把b＝－2代入①和②得 ??a≥0，?2－a2－2≤0，?即?所以a＝0. ?a≤0.??2＋a2－2≤0. 1 因此f(x)＝x3－2x＋1. 3 13 x－2x＋1?＋mx2－6x＝－x3＋mx2－3， (2)证明：g(x)＝－3??3?g′(x)＝－3x2＋2mx是关于x的二次函数，观察y＝g′(x)的图象 因为g′(0)＝0，所以当 ?m x∈[0,1]时，|g′(x)|≤1??0≤3≤1， g′?1?＝－3＋2m≥－1， 或 ??g′?1?＝－3＋2m≤1， ??m ?3>1， ??g′?1?＝－3＋2m≥－1，或??m?3<0 ?2 g′?m?3??＝m3 ≤1，?1≤m≤3. 高:考じ试﹥题╝库
2013年高考数学二轮复习学案（数学思想方法部分）专题2数形结合思想（江苏专用）
