第一讲： 常见的三种力、物体的平衡
一、力学中常见的三种力 (一)相关概念 1.重力、重心
mgx?m2gx2????重心的定义：x?11，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
m1g?m2g????重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 2.弹力、弹簧的弹力（F=kx） （1）两弹簧串联，
111=+ （2）并联时k=k1 +k2 kk1k23.摩擦力
（1）摩擦力的方向：
（2）摩擦角:f和N的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角
-1-1
（f达到最大）叫摩擦角，摩擦角?=tanf/N=tan?。摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，?是一定的。由于静摩擦力f0属于围0＜f≤fm，故接触面作用于物体的全反力F?同接触面法线的夹角??tg?1?F F? φ α N ?f0?这就是判断物体?≤φ0，
?N?fm f0 不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力F?的作用线落在（0，φ0）围时，
无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 （二）巩固练习
1.（90国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示，由成对的弹簧组成。所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m，一个重为100N的重物置于垫上致使该垫的表面位置下降了10cm，此弹簧垫共有多少根弹簧？（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。400
2.如图所示，两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直悬挂，弹簧下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细绳上.把滑轮和两个轻弹簧等效成一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。
3.水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为?,则为使拉力F最小,F与水平地面间的夹角多大?F的最小值为多少?
F ?mg-1
θ （答案：tan?；）
21?? 解:先把f和N合成一个力T,因f和N成正比,所以当F发生变化时T的大小也要发生
-1
f-1
变化,但方向不变,且?=tanN=tan?. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所
示.根据平行四边形定则,当F和T垂直时F最小,如右图所示.得F与水平地面间的夹角?=?=tan?, ??mgsin?=，F的最小值Fmin=mgsin?=.
221??1??-1
另解：设F与水平面成?角时F最小,
?mg有Fcos?-?(mg-Fsin?)=0,得F?,
cos???sin??mgsin??mg,
令?=cot?,代入上式得F?=。
2sin(???)1??二、共点力作用下物体的平衡
（一）相关概念
1.三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
例1.如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为?.则容器面对杆A点的作用力F为多大?
解：F的作用线通过圆心B点对杆的作用力N与相垂直 角度关系如图所示根据正弦定理
Mgsin(900??)?F得F?Mgtan? sin?
（二） 巩固练习
1.如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多
2
大的拉力? 16μmg , nμmg
2.在一个与平面成a角的粗糙斜面上放着一个物体，它系于一个不伸长的细绳上，绳的另端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面，如图所示，然后慢慢地拉动绳子，开始时，绳子处于水平位置，在这个物体到达小孔的时候，物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆，求动摩擦因数μ。 tan a
3.三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计)
解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上力相同，设为F.设环 2的质量为m，则环3的质量为2m.对环2和3整体有:3F = mg + 2mg
对环3有:3Fsinθ= 2mg由以上两式得:sin??d22?， 即
3r02?d231 2 所以d?
25r0 53
4. 有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为r，同置于一块光滑圆形曲面上如图所示。试求下面两个圆柱体不致被压而分开时，曲面半径R需满足的条件。R?(1?27)r
5. 如图所示，原长LO为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度ho。
(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40cm的极大值。 (b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 答案(a)37.5cm (b)100cm＞ho＞50cm
0
6..一个小物体与竖直墙面之间的动摩擦因数μ=0.25，当作用力F与竖直方向成α=53度时，F至少为10N才能维持物体的静止
（1）在α不变的情况下，需要多大的力F才能使物体沿墙面向上做匀速运动。20N (2)在动摩擦因数μ确定的情况下，要使物体向上做匀速运动,α角有有什么限制。
7.一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg和2Kg的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问：为使这三个物体能保持平衡，第三个物体的质量取值围多大。
解(1)因所挂的质量m越小,所以O点靠近A点,OB趋向水平,OA与水平面有夹角。 对O点受力平衡：(mg)2?(2g)2?(4g)2,得m?23kg。
即当m?23kg时,三个物体平衡将破坏.
(2)m越大,OB和OA都趋向于竖直,所以当m>6Kg时三个物体平衡将破坏. [解]:此题只需求两个极值. m最大值:设线足够长,则m接近m1+m2,此时两细线间的夹角接近0.如图解2-4-1因此m?m1?m2?6kg.
?? m的最小值:当m最小时,因为m2?m1 ,此时m在靠近右侧的滑轮处,连接m和
m1的两线的夹角近90°此时满足:m2g?(mg)2?(m1g)2 由此解得:
m?23kg
解2-4-1 综合以上:23kg?m?6kg
解2-4-1
8. 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为α，有一质量为m并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的力T。
T=
mgαcot 2π29.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为?A=0.2，?B=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。
解：若B端开始滑动，AC为二力杆，地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30?，
-1-1
而A点对应的摩擦角?A=tan?A=tan0.2<30?。AC杆不能衡。
若A端开始滑动，AB为二力杆，地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30?，而B点对应的摩擦角?B=tan-1?B=tan-10.6>30?。AB杆能衡。
所以人必须从A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。 对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过FA和FB的交点。
设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：scot?A=(L-s)cot30?，
得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。
10.(2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= 3 ≈0.58。试求该同学向上
3拉动的重物质量M的最大值?
析;设该同学拉动重物的力F的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有
FN+F sin φ-Mg cosθ=0 ①
式中FN是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。 沿斜面的方向上有
Fcosφ-μFN- Mg sinθ=Ma ②
根据题意，重物刚能被拉动，加速度a近似为零，由牛顿运动定律
Fcosφ-μFN- Mg sinθ=0 ③
联立①③式得
M?令??tan?⑤ 联立④⑤式得
M?Fcos???sin??④ g?cos??sin?Fcos(???)?⑥ gsin(???)要使质量最大，分子须取最大值，即
cos(???)?1，???⑦ 此时能拉动的重物的质量的最大值为 Mmax?由题给数据，知
tan??F1?⑧ gsin(???)3，??30?⑨ 3于是该同学能拉动的重物质量不超过Mmax，有 M?Mmax?
(备用)
mg1??2m?70.7kg⑩ gsin(30??15?)
2014竞赛第一讲_常见的三种力与共点力的平衡答案
