胡松瀛数模讲义
对策与决策模型
古人云：“世事如棋。”人生就像下棋一样，每天都要面对许多的 对策与决策问题。有些是生活琐事的对策与决策，如要不要买你看中 的一件商品；今天中午你点什么菜，喝什么酒？有些则可能是决定你 命运的重大事情的对策与决策，如高考填志愿你该填什么学校，什么 专业？许多人在竞争某一职位，你应当怎样做才能最好的表现自己， 使自己脱颖而出？等等，等等。对策与决策问题都要求你面对几种方 案做出选择，不同之处在于遇到对策问题时，你面对的是一个或几个 与你一样可以可以选择行动方案的对手；而遇到决策问题时则不然， 你面对的并非一些对手，而是将来会出现的几种可能结果，它们虽不 会故意为难你（即不会和你博弈），但你一般却不知道究竟哪一种结 果会真正出现。当然，两类问题也有一定的联系，不必分得过于清楚。 例如，在某些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况看成是竞争 对手可以采取的几种策略，那么求解对策问题的方法也可以用来求解 决策问题。
对策问题
对策论的思想早就有之，我国战国时期的“田忌赛马”就是一例。 传说齐王
欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级 的马个一匹进行比赛，每局赌局诶一千金。齐王同等级的马均比田忌 的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他除了一个主意， 让他用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐 王的下等马，结果田忌两胜一败，反而赢得了一千金。然而，对策论 作为一门真正独立的学科，其发展的历史却并不久远。 1912 年，策 墨罗利用集合论思想研究下棋， 发表了题为 《关于集合论在象棋对策 中的应用》的论文。1928 年与 1937 年著名美籍匈牙利科学家冯 .诺伊 曼和摩根斯藤合著了 《对策论与经济行为》 一书。这些研究成果被公 认为是对策论作为一门学科创立的标志， 他们引进了严格的定义， 构 建了对策论的理论框架， 使对策论研究走上了系统化、 公理化的道路。 1950 年，美国数学家纳什将冯 .诺伊曼等人的合作对策理论发展到非 合作对策情况， 提出了纳什平衡点概念 （纳什本人也因此而获得了诺 贝尔经济学奖）。此后，对策论围饶着纳什平衡点这一核心问题发展， 又有了新的重大突破。
对策问题的参与者为利益相互冲突的各方， 其结局不取决于其中 任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。
究竟什么是对策问题呢？让我们先来考察两个简单的实例。 例 1 （囚犯的困惑）警察同时逮捕了两人，并将他们分别关押 在两处，逮捕的原因是他们持有大量伪币。警方怀疑他们伪造钱币， 但尚未找到充分的证据， 希望他们能自己供认。 这两个人都知道： 如 果他们双方都不供认， 将被以持有和使用大量伪币罪各判刑 18个月； 如果双方都供认伪造了钱币， 将因伪造钱币罪各判刑 3 年；如果一方 供认另一方不供认， 则供认方将被从宽处理仅关押半年， 但未供认一 方将被判刑 7 年。将嫌疑犯 A、B 被判刑的几种可能情况如表一所示。
嫌疑犯B 供认 嫌疑犯A 不供认 （0.5, 7） （1.5，1.5） 供认 不供认 （3, 3） （7, 0.5） 表中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。
让我们来分析一下囚犯们会怎样决策。 囚犯A也许会这样想：若 B招认了，我如果不招认会被判7年，但我也招认的话只有3年；若 B不招认，我如果招认判刑只有半年，而不招认则被判刑
1?5年。也
就是说，不论B招认还是不招认，对A来说，招认都比不招认要好。 既然如此，除非A是傻瓜，他肯定会采取招认的策略。同样道理，如 果B不是傻瓜，他也会这样想，从而采取招认的策略。看来这一案件 的最终结果一定是，A、B均供认并各被判刑3年，不管他们真的有 没有伪造钱币。由此可以看出，在这种情况下，过分的强调了坦白从 宽、抗拒从严，即使不使用刑罚，也完全有可能制造冤案，这就是为 什么法律界人士要再三强调量刑时应当重事实、重证据的原因之一。
在上面这个简单实例的分析中，我们其实已经先验地做了一条假 设：“防人之心不可无”，不管对方怎么做，我们的策略应当保证我不 会成为牺牲品。例如，假如 A、B都不招认，他们都只需服刑1?5年 （而不是3年）。可是双方都会这样想，凭什么我要相信对方，有什 么对东西能保证对方不会出卖我呢？
“囚徒的困惑”是一个很出名的实例，它之所以出名是因为它揭 示了一种
现象，即在自然状态下，动物（包括人）是趋利避害的。假
如你将一批猴子关进笼子里并每天从中选出一只来杀掉，你只要稍加 留意就会发现，在你选猴子的时候，猴子们非常紧张，一动都不敢动 生怕引起你的注意，而当你选中一只准备杀时，被选中的猴子拼命挣 扎，其余的猴子却在笼子里幸灾乐祸的观望，可能庆幸自己未被选中。 不少人认为，认总是利己的，只要不出伤害别人就算是好人了（经济 学中将这种人称为“理性人”）。其实不然，如果不崇尚奉献精神，人 人都事不关己高高挂起，人人都满足于当“理性人”，就会对整个社 会带来灾难，最后也一定会殃及作为社会一员的个人。例如，我们经 常看到有消息报道，某处罪犯正在作案，旁观看热闹的人不少，却没 有人挺身而出去加以制止（或只有很少的几个见义勇为者），大概就 是因为事不关己吧。这些人和关在笼子里的猴子没有多大区别，他们 的举动其实在助长犯罪分子的威风，如果每一个人都能挺身而出，罪 犯的气焰就不会这样嚣张了，敢于犯罪的人也就少了。
例2 （商业竞争）两家生产相同产品的工厂在竞争市场，甲厂 拟定了三套行动计划a., ?,如，乙厂拟定了四套行动计划02, 03，角。预测在甲厂采
2
取方案⑦，而乙厂釆取方案Q时，甲已两厂 的市场盈利分别为（勺，0\）（注：前者为甲厂盈利，后者为乙厂盈 利）。问两厂各应采取哪一种策略才能使本厂的盈利最大。
在例2中，根据预测我们得到的其实是一个赢得“矩阵”（注： 我们给矩阵两字加了引号是因为，严格地讲，它并不是矩阵，因为其 每一个元素是一个向量而不是一个数）:
（ail?^ll ）…
（。|4，勺4
厦=（。21'“21）…（。24'“24） _（。31，“31）…（。34上34）_
分析上面两个对策问题的实例，我们可以发现一些共同的规律。
一、对策问题的基本要素
给定一个对策问题的实例必须给定以下信息：
（1）
局中人。参加对策的各方被称为决策问题的局中人，一个 对策
问题可以包含两名局中人（如棋类比赛等），也可以包含多于两 名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争等）。每一局 中人都必须拥有可供其选择并能影响最终结局的策略，在例1中，局 中人是川、〃两名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终被如何判刑 取决于他们各自釆取的态度，警方不能为他们做出选择。
（2）
策略集合。局中人能釆取的可行方案称为策略，每一局中
人存在着一个策略集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则 该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的 余地。应当注意的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完 整方法，而并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如，下 棋中的某一步只能看作一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完 整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略 集合可以是有限集也可以是无限集。策略集合为有限集时被称为有限 对策，否则被称为无限对策。
（3）
赢得函数（或称支付函数）。记局中人i的策略集合为S,。 当
对策问题的各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后,各方采
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