第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 A 振幅 周期 频率 相位 初相 2π1ωT＝ f＝＝ ωT2πωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
x φ－ ω0 0 π－φ2 ωπ－φω 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) π2 π 0 A 3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 先平移后伸缩 先伸缩后平移
? ?
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )
(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin?2x＋?.( )
4?4?(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间
π?
π?
的距离为.( )
2
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
T?π?2．为了得到函数y＝sin?x＋?的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
3??
A．向左平行移动个单位长度
3B．向右平行移动个单位长度
3C．向上平行移动个单位长度
3D．向下平行移动个单位长度
3
A [把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动
π
个单位长度就得到函数y＝3
ππππ?π?sin?x＋?的图象．]
3??
3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象3-4-1如图，则ω＝( )
图3-4-1
A．5 C．3
B．4 D．2
TππB [由图象可知，＝x0＋－x0＝，
244
π2π
所以T＝＝，所以ω＝4.]
2ωπ
4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，
8则φ的一个可能取值为( )
A.
3π
4
B.
π
4
C．0
πD．－ 4
π?φπ?B [把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin 2?x＋＋?28?8?
π?π?＝sin?2x＋φ＋?为偶函数，则φ的一个可能取值是.] 4?4?
5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝π??5sin?100πt＋?，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________. 3??
【导学号：51062109】
π1π2π1
， [由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝.] 3503100π50
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ?1π? 已知函数f(x)＝3sin?x－?，x∈R.
4??2
(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ [解] (1)列表取值：
x 1πx－ 24π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0 f(x) 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.8分
π
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2
4倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.15分
[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω?x＋?确定平移单位．
π32．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，222π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．
?
?
φ?ω?
π?1?[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin?2x＋?的图象向右平移个周期6?4?后，所得图象对应的函数为( )
π??A．y＝2sin?2x＋?
4??π??B．y＝2sin?2x＋? 3??π??C．y＝2sin?2x－? 4??π??D．y＝2sin?2x－? 3??
(2)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到. 【导学号：51062110】
π?π?π??(1)D (2) [(1)函数y＝2sin?2x＋?的周期为π，将函数y＝2sin?2x＋?的图象
6?6?3??1π??π?π?向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin?2?x－?＋?＝
4?6?44??π??2sin?2x－?，故选D.
3??
?π?(2)∵y＝sin x－3cos x＝2sin?x－?，∴函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数
3??
y＝2sin x的图象向右平移个单位长度得到．]
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 π
3
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图3-4-2所示，则( )
图3-4-2
π??A．y＝2sin?2x－? 6??π??B．y＝2sin?2x－? 3??
?π?C．y＝2sin?x＋? 6??
?π?D．y＝2sin?x＋?
3??
(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正ππ
周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
23
π??A．y＝4sin?4x＋?
6??π??B．y＝2sin?2x＋?＋2 3??π??C．y＝2sin?4x＋?＋2 3??π??D．y＝2sin?4x＋?＋2 6??
Tπ?π?π2π
(1)A (2)D [(1)由图象知＝－?－?＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的
23?6?2π
πππ?π?一个最高点坐标为?，2?，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－
326?3?π??(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin?2x－?.故选A.
6??
(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数π2ππππ
的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×
2ω233π?π5π?＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin?4x＋?＋2.]
6?26?
[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2π
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
M－m2
，b＝
M＋m2
；
T(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即π图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；
2“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)3π
时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
2
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4节函数yAsinx的图象及三角函数模型的简单应用教师用书
