第一讲：数的整除
【知识准备】根据整除的性质，能被2、3、5、4、8、9、11、25、125以及能够被7、11、13同时整除的数的特征综合思考。
知识点：（1）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位数字是0或者5的数都是5的倍数。
（2）个位数字的和是3或者9的倍数的数字，都能被3或9整除。 （3）一个数末两位数字能被4或25的倍数，这样的数能够被4或25整除。 （4）一个数字末三位数是8或者125的倍数，这样的数字能够被8或125整除。 （5）一个数字的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的差（大减小）能被11整除，这样的数字就能被11整除。
（6）对于一个位数较多的数字，将这个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为一个数字，如果这两个数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。 例1：能被2、3、5同时整除的最小的三位数是多少？最大的三位数呢？
分析：要想保证能被2、5同时整除，这个数字个位必须是0，要想最小百位只能选择1，还要能被3整除，十位数字最小填2，所以最小的三位数是120.最大的三位数百位9、个位0，十位最大选择9，所以是990.
练习：（1）、最高位数字是1，并且能被2、3、5同时整除的最小四位数是多少？
（2）□1375在方框中填入一个数字，使得这个四位数能被5和11同时整除？
（3）在算式 □+91=○中，□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数，那么□盖住的数字是多少？
例2：已知六位数□2008□能被55整除，这个六位数是多少？
分析：能被55整除就是说这个数字必须是5的倍数，又是11的倍数。按照能被5整除的数 的特征，个位可以是0或者5.如果个位是是0，那么奇数位上的数字和2，偶数位上的数字和只有是13，所以最高位上的数字是5，所以这个六位数可以是520080.如果个位选择0，那么奇数位上数字之和是7，偶数为上的数字和只有18，实现不了，所以答案是唯一的。
探索练习：1.已知六位数A3826B6能被72整除，这个六位数是多少？
2.把789这个三位数连续写多少次，所组成的数字能被9整除？
3.一张纸上有一个没有重复数字的五位数3□6□5，已知这个数字能被75整除，那么满足条件的五位数可能是多少？
例题3：一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是多少？ 分析：设两个质数分别是x和y则:3x+2y=2000,因为和2000是偶数，2y也是偶数，所以3 x也是偶数，那么x只能是质数2，代入上面的式子得出y等于997，所以这两个质数的和是2+997=999.
练习：1）a、b、c、d、e、f六个连续质数从大到小排列，它们的和是一个奇数，那么c是多少？
2）一个质数的7倍加上另一个质数的2倍和是100，这两个质数的和是多少？
3)一个数字的20倍减去1后能被153整除，这样的自然数中最小是多少？
数的整除练习：
1）能同时被2、3、5整除的最小的自然数是（ ）,最大的两位数是( )。
2）所有能被3整除的两位数的和是多少？
3） 从3、5、0、1这四个数字中任意选出3个，组成没有重复数字且同时能被3、5整除的三位数，这样的三位数一共有多少个？
4）五年级有72名学生，课间加餐一共交了餐费□52.7□元，平均每人交多少元？
5）用6、7、8、9四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被11整除的数字有哪些？
6）在1到100这100个自然数中，有多少个不能被3或11整除的数字？
7)一个三位数是9的倍数，在300-400之间，百位和十位数字的和是10，这个三位数是多少？
8）五位数2a89b能够被36整除，这样的五位数有多少个？
9）有一个100位数，每一位上的数字都是2，除以9的余数是多少？
10）六位数1803□6能被12整除，这个数字的十位数字是多少?
第二讲：质数、合数、最大公约数和最小公倍数。
在自然数中，约数只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。一个数除了1和它本身还有别的约数这样的数字叫做合数。1既不是质数也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。例如：30=2×3×5就是把30分解质因数，
2、3、5就是30的质因数。
知识点及常用结论：1）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 2）质数中只有一个偶数2
3）对于一个自然数A作分解质因数
Aa=n11 ×a×a2n2n33 ×……×anmmA的约数有:
(1+1) ×(2+1) ×(3+1) ×…..(m+1) 个nnnn例1：判断327是质数还是合数？457是质数还是合数？
判断一个数字是否质数的标准是是否只有1和它本身两个约数，如果含有了其它的任何一个约数就不是质数。327个位数字之和是12，是3的倍数，含有约数3，所以是合数。457不含有质因数2、3、5、7、11、13、17、19、23，每次用质因数来尝试，试验到平方后超过457的质因数为止，所以457是质数。
练习：1)判断123456789这个9位数是质数还是合数?为什么？
2)36分解质因数是（ ），45分解质因数是（ ）,两个数的公有的质因数是( ),最大的公约数是（ ）,最小的公倍数是（ ）。
3）如果A,(A+4),(A+6),(A+10),(A+12),(A+16),(A+22)均为质数，那么A最小是多少？
例2：一个数除以5余数是4，除以6余数是5，除以7余数是6，这个数最小是多少？ 分析：这个数字除以5余数是4，除以6余数是5，除以7余数是6，可以认为这个数字添上1就可以成为三个数字的公倍数，现在要求最小的一个，我们只要求出三个数字的最小公倍数，然后减去1就行了。5、6、7的最小公倍数是210，减去1后是209.
练习：1）一筐梨2个2个的拿最后余1个，3个3个的拿最后余2个，5个5个的拿最后余4个，这框梨最少有多少个？
2）分解质因数后能够写成三个不同的质数相乘的两位数，一共有多少个这样的两位数?
3）满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小的自然数是多少？
例3：某学校四年级、五年级、六年级各有300人、240人、360人去春游，三个年级分别去租车，每车的坐同样多人且没有剩余，至少要租多少辆大客车？
分析：每车的人数同样多并且没有剩余，可以想到每车的人数是三个年级人数的公约数，要想客车的辆数最少，必须是三个年级人数的最大的公约数。三个数的最大公约数是（300，240，360）=60，三个年级一共需要（300+240+360）÷60=15辆。
练习：1）鲜花礼品店要制作花束，有玫瑰花120朵、康乃馨96朵、芍药60朵，要求每束花中各种花的朵数分别相等，把这些花全部用完，每束花中玫瑰几朵？康乃馨几朵？芍药几朵？
2）将长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？
3）将长25，宽20、高15的空心砖摞成最小的正方体，最少要用砖多少块？
例4:较大数字360的约数有多少个？
3 2 1 根据知识要点的提示将360分解质因数是：360=2 ×3 ×5 所以360的约数有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个。
练习：1）求720所有约数的个数。
2）50以内有8个约数的数字有哪些?
小学数论解析
