概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
直线和圆
一．直线的倾斜角：
1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
2．倾斜角的范围?0,??。如
（1）直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是____
（答：[0，]?[6?5?6； ，?)）
（2）过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[,3?2?3],那么m值的范围是
______
（答：m??2或m?4）
二．直线的斜率：
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（
2．斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k??y1?y2x1?x2?x1?x2?；
3．直线的方向向量a?(1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
4．应用：证明三点共线： kAB?kBC。如
(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件
（答：既不充分也不必要）； （2）实数x,y满足3x?2y?5?0 (1?x?3)，则
yx的最大值、最小值分别为______
（答：,?1）
32三．直线的方程：
1．点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线。
2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线。
3．两点式：已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线。
4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为
xa?yb?1，它不包y?y1y2?y1?x?x1x2?x1，
括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5．一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式。如
（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________
（答：y?1??3(x?2)）；
（2）直线(m?2)x?(2m?1)y?(3m?4)?0，不管m怎样变化恒过点______
?（答：(?1,?2)）；
（3）若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______
（答：a?1）
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 四．设直线方程的一些常用技巧：
1．知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；
2．知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)；
3．知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；
4．与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0； 5．与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B22；
C1?C2A?B22（2）两平行线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0间的距离为d?六．直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系：
。
1．平行?A1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y轴上截距）； 2．相交?A1B2?A2B1?0；
3．重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。 提醒：（1）
A1A2?B1B2?C1C2、
A1A2?B1B2、
A1A2?B1B2?C1C2仅是两直线平行、相交、重合
的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0垂直?A1A2?B1B2?0。
如（1）设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1?l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合
（答：－1；
12；m?3且m??1；3）；
（2）已知直线l的方程为3x?4y?12?0，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方
程是______
（答：3x?4y?9?0）；
（3）两条直线ax?y?4?0与x?y?2?0相交于第一象限，则实数a的取值范围是____
（答：?1?a?2）；
（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA?x?ay?c?0与bx?sinB?y?sinC?0的位置关系是____
（答：垂直）；
（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)?0上一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____
（答：平行）；
（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的线段长为9，则直线l的方程是________
（答：4x?3y?4?0和x?1）
七．到角和夹角公式：
1．l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?，
???0,??且tan?=
k2?k11?k1k2(k1k2??1)；
?k2?k11?k1k2（2）l1与l2的夹角是指不大于直角的角?,??(0,]且tan?=︱
2︱(k1k2??1)。
提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如
已知点M是直线2x?y?4?0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______
（答：3x?y?6?0）
八．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如
（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______
（答：(b,a)）
（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________
（答：bx?ay?c?0）；
（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________
（答：y=3x＋3）；
（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________
（答：18x＋y?51?0）；
（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程
（答：2x?9y?65?0）；
（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______
（答：（5,6））；
（7）已知A?x轴，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周长的最小值为______
（答：10）。
提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 九．简单的线性规划：
1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y?kx?b或y?kx?b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特
直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
