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2019年全国高考数学·分类汇编 专题22 坐标系与参数方程(解析版)

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专题22坐标系与参数方程

O为极点,【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中,点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当?0=

?

时,求?0及l的极坐标方程; 3

?3??42(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

【答案】(1)?0?23,l的极坐标方程为?cos(??)?2;(2)??4cos?,??[,].

【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为??x?2cos?(?为参数),

y?4sin???x?1?tcos?直线l的参数方程为?(t为参数).

?y?2?tsin?(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

x2y2【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为(2)l的斜率为?2. ??1,l的直角坐标方程为x?1;

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【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为?cos??4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 【答案】(1)(x?2)?y?4(x?0);(2)2?3.

22?3 1

【命题意图】

1.理解坐标系的作用.

2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 5.了解参数方程,了解参数的意义.

6.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 【命题规律】

参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查,各自的特征都较为突出,都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程,最后转化为平面几何知识进行解决. 【答题模板】

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

?x(λ>0)?x′=λ·?

y)是平面直角坐标系中的任意一点,y)对应到点(λx,μy),设点P(x,在变换φ:点P(x,y(μ>0)的作用下,?y′=μ·?

称φ为坐标系中的伸缩变换. 2.极坐标和直角坐标的互化

y

x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=x+y,tanθ=x(x≠0). (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:

2

2

2

(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧. 3.参数方程与普通方程的互化

(1)将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.

(2)把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.

2

4.解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为: 第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.

另外,当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成

(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥

t2,得到|AB|=|t1-t2|=曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·【方法总结】

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位. 如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),

????x=ρcos θ,

?y则?或??y=ρsin θ??tan θ=x(x≠0).

ρ2=x2+y2,

2.圆的极坐标方程

2若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r=0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;

(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ; (3)当圆心位于M(a,),半径为a:ρ=2asinθ. 3.直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; (3)直线过M(b,)且平行于极轴:ρsin θ=b.

3

π2π24.直线的参数方程

若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为其中参数t有明显的几何意义. 5.圆的参数方程

若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为6.椭圆的参数方程

若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为7.参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 8.普通方程化为参数方程

y的值.曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.

1.【重庆市南开中学2019届高三4月测试】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为?2(t为参数).这是直线的参数方程,

0≤θ≤2π.

0≤t≤2π.

?x?2cos?(?为参数).在

y?sin??以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2极坐标方程为??4?sin??3. (1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;

(2)若P,Q分别为曲线C1,C2上的动点,求|PQ|的最大值.

2x221【答案】(1)C1的直角坐标方程为(2)?y2?1,C2的直角坐标方程为x2?(y?2)2?1;?1.

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?x?2t2.【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?(ty?1?t?为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C的极坐标方程为??22cos(??). (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)判断直线l与曲线C的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)l的普通方程为x?2y?2?0,C的直角坐标方程为x?y?2x?2y?0;(2)相离.

22?4 4

3.【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为?cos(??(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程;

22(2)已知点M(1,0),若直线l与曲线C交于P,Q两点,求|MP|?|MQ|的值.

?2,曲线C的极坐标方程为??6cos??0. )?42【答案】(1)直线l和曲线C的直角坐标方程分别为x?y?1?0,(x?3)?y?9;(2)18.

4.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程为

22??x?5?10cos?(?为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方???y?10sin?程为??4cos?.

(1)求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程;

(2)若直线l的极坐标方程为?sin(??)?22,直线l与y轴的交点为M,与曲线C1相交于A,B两点,求MA?MB的值. 【答案】(1)?cos??

5.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,

?45;(2)92. 2?x?2tx轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为?(t为参数),曲线C的极坐标方程为

?y?2?t?cos2??8sin?.

(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线; (2)若直线l与曲线C的交点分别为M,N,求MN.

【答案】(1)曲线C方程为x?8y,表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y轴的抛物线;(2)10.

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2019年全国高考数学·分类汇编 专题22 坐标系与参数方程(解析版)

专题22坐标系与参数方程O为极点,【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中,点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当?0=?时,求?0及l的极坐标方程;3?3??42(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点
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