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高等代数（北大*第三版）答案
目录
第一章 多项式 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
注：
答案分三部分，谢！
. . . 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 ?—矩阵
欧氏空间
双线性函数与辛空间
该为第三部分，其他请搜索，
谢 .
第九章 欧氏空间
1.设??aij是一个n阶正定矩阵,而
????(x1,x2,?,xn), ??(y1,y2,?,yn),
在Rn中定义积(?,?)?????,
1) 证明在这个定义之下, Rn成一欧氏空间； 2) 求单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
?是Rn上的一个二元实函数，且 (?,?)????解 1)易见
(1) (?,?)??????(????)?????????????(?,?)， (2) (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，
(3) (???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)， (4) (?,?)???????ai,jijxiyj，
ij由于A是正定矩阵，因此
?ai,jxiyj是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有
(?,?)?0。
2)设单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵为
B?(bij)，则
?a11a12??a22a22bij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?(i)????a?n1an2因此有B?A。
?????0?a1n???????a2n???1(j)aij(i,j?1,2,?,n)， ????=，????ann???0??? . . .
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4) 由定义，知
(?,?)??aijxiyji,j??(?,?)?，
?axxijii,jj??(?,?)?，?ai,jijyiyj，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
?axyijii,jj??axx?aijiji,ji,jijyiyj
2.在R4中,求?,?之间??,??(积按通常定义)，设: 1) ??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)， 2) ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)， 3) ??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。 解 1)由定义,得
(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，
所以
??,??? 2)因为
?2。
(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18， (?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18， (?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，
cos??,???所以
181836?22，
??,??? 3)同理可得
?4。
(?,?)?3, (?,?)?17, (?,?)?3, cos??,????1??,???cos所以
377，
377。
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高等代数(北大版第三版)习题答案III
