第6章 杆件的内力分析
6－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。 （A） （B） （C） （D）dFQdx?q(x)；dMdxdMdxdMdx?FQ； ； dFQdxdFQdxdFQdx??q(x)，，??FQ??q(x)?FQ； 。 习题6-1图 ?q(x)，dMdx??FQ 正确答案是 B 。 6－2 对于图示承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。 正确答案是 B、C、D 。 习题6-2图 6－3 已知梁的剪力图以及 a、e截面上的弯矩Ma和Me，如图所示。为确定b、d二截面上的弯矩Mb、Md，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。 （A）Mb?Ma?Aa?b(FQ)，Md?Me?Ae?d(FQ)； （B）M （C）M （D）Mbbb?M?M?Maaa?Aa?b(FQ)?Aa?b(FQ)?Aa?b(FQ)，M，M，Mddd?M?M?Meee?Ae?d(FQ)?Ae?d(FQ)?Ae?d(FQ)； ； 。 上述各式中Aa?b(FQ)为截面a、b之间剪力图的面积，以此类推。 正确答案是 B 。 6－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 解：（a）? MA 习题6-3图 |FQ|max。 ?0，FRB??M2lM2l（↑） （↓） ?Fy?0，FRAM2l|FQ|max? 2 习题6-4图 ?ql?l2?ql?l?FRB?2l?0FQ|M|max?2M （b）?FRB?14qlMA?0，?ql， FQ(ql)（↑）
?Fy?014ql?l?AB14M2lACB14
MC，FRA14ql2?14ql（↓），
54 ?FRB?l?（＋）
(a-1) (b-1)
MA?ql2
AM2CDEBM2A14BM2M32MMql2 (a-2) (b-2)
M |FQ|max?5ql4
2 M 2 |M|2max?ql
（c）?Fy?0，FRA?ql（↑）
?MA?0，MA?ql2
?M?0，ql2lD?ql?l?ql??M?02D M32D?ql2 |FQ|max?ql
|M|3ql2 (c) max?2
（d）?MB?0
F1RA?2l?q?3l??ql?l?02
FQ(gl) F5RA?ql4（↑）
ADBCl1 ?Fy?0，FRB?3ql4（↑）
(c-1) ?M，M2B?0B?ql2
?MD?0，M252D?ql32
|F5Q|max?ql
ADBC411
|M|25ql21.5max?32
M(ql2) （e）?Fy?0，FRC = 0 (c-2) ?MC?0，?ql?3l?ql?l?M?022C M2C?ql ?MB?0，MB?1ql22
?Fy?0，FQB?ql
|F (e) Q|max?ql
|M|2max?ql
（f）?MA?0，F?1RBqlFql2（↑） Q ?F1y?0，FRA?ql2（↓）
ABC ?F，?1(e-1) y?0ql?ql?F2QB?0
F1QB?ql2 ABC ?MD?0，
1ql?l?ql?l?M0.52224D?0 M(ql2)1 M1ql2D??8
(e-2) M1E?ql28
∴
|FQ|max?1ql2
— 51 — (a) (d) FQ(gl) 1.25ADB0.75 (d-1) ADBCM(ql2)125232 (d-2) (f) ql0.5QDEB0.50.5 (f-1) 0.125AECDB0.125M(ql2)(f-2) (b) F
|M|max?18ql2
M|max 6－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定| 解： 图（a）：?
MA。
?0，FRB（↑）
?2l?FP?l?FP?l?0FRB?FP?Fy?0，FAy，FAx?FP（↓） （←）
，位?Fx?0?FP 弯距图如图（a-1），其中|M于刚节点C截面。 图（b）：?Fy?
?MA|max?2FPl0，FAy?ql?1212（↑）
ql?0，FRB?（→） ?Fx?0，FAxql（←） 2 (c) (d) 11 弯距图如图（b-1），其中| 图（c）：?
Fx?0AM|max?ql。 C，FAx
l2ql?ql（←）
B122C?Mql2?0B2?ql?12?FRB?l?0
DM(FPl)M(ql2)FRB?（↓）
A?12ql?Fy?0，FAy（↑） (a-1) 2 1A (b-1) 弯距图如图（c-1），其中| 图（d）：?
Fx?0AM|max?ql。 12，FAx
2?ql
12121?M?0l21?FRB?l?012?ql??ql
M(ql2FRB?32ql
?32ql2)M(ql)2 B1?Fy?0，FAy（↑） 2AB A(d-1) 弯距图如图（d-1），其中|M|max?ql。 (c-1)
6－6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为p。梁的尺寸如图所示。若已知试导出轴力FNx、弯矩M与均匀分布切向力p之间的平衡微分方程。 解：
1．以自由端为x坐标原点，受力图（a） ?Fx?0，px?FNx?0 ∴
FNx??pxdFNxdx??pp、h、l，
h2?0
p?MC?0，M?px?
习题6-6和6-7图 M?dMdx12?phx12phMC ，FNx?dFNx?pdx?FNx?0FNx 方法2．? ∴
dFNxdxFx?0
x (a) p??p
52
FNxM?dMCFNx?dFNxdx (b)
∴
?MdMdxC?0ph2，M
?dM?M?pdx?h2?0
? 6－7 试作6－6题中梁的轴力图和弯矩图，并确定||M|maxFNx|max和FN。 FNx|max?plp2hllxpl 解：| （固定端） （固定端） O|M|max?lx 6－8 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩M(A)?0，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。 解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知 FRA = 20 kN（↑），FRB = 40 kN 由 ?Fy?0，FRA?FRB?q?4?0 q = 15 kN/m 由FQ图D、B处值知，M在D、B处取极值 MDM12phl 习题6-8图 7.5?20?1243?15?212(43)2?403kN·m A43mMB??q?1??7.5kN·m MkN?mB40C梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d）、（c）所示。 3 (c) q?15kN/m A CB (d) 6－9 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。 解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、C处有向上集中力，且 FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑） q?0.3?(?0.5)4?0.2kN/m（↓） 由MA = MB = 0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a）或（b）所示。 q?0.2kN/m AC 1kN (a) 0.2kN/m AB 习题6-9图 C— 0.3kN53 — B (b)
6－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E上的弯矩为零，试：
1．在Ox坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。
解：由FQ图知，全梁有向下均布q；B、D处有相等的向上集中力4ql；C处有向下的集中力2ql；结合M，知A、E为自由端，由FQ线性分布知，M为二次抛物线，B、C、D处FQ变号，M在B、C、D处取极值。
MB?MD??122ql2，FQB = 4ql
72ql2MC??12q(3l)?4ql?2l?
习题6-10图 0.5 0.5 1．弯矩表达式：
M(x)??121212q?x?0?2，(0?x?l) ACBDEM(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?，(l?x?2l) M(ql)2M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l??2ql?x?3l? 3.5
(3l?x?5l)12
2(a) ?4ql?x?l?M(x)??q?x?0? ABqE ?2ql?x?3l??4ql?x?5l?
即
(5l?x?6l)12
2C2qlDM(x)??q?x?0??4ql?x?l? (b) ?2ql?x?3l??4ql?x?5l? (0?x?6l) 2．弯矩图如图（a）； 3．载荷图如图（b）；
4．梁的支承为B、D处简支（图b）。 6－11 图示传动轴传递功率P = 7.5kW，轴的转速n = 200r/min。齿轮A上的啮合力FR与水平切线夹角20°，皮带轮B上作用皮带拉力FS1和FS2，二者均沿着水平方向，且FS1 = 2FS2。试：（分轮B重FQ = 0和FQ = 1800N两种情况） 1．画出轴的受力简图； 2．画出轴的全部内力图。 解：1．轴之扭矩：
MxFQ 习题6-11图 yFCzFDz3FS2BTB?9549?7.5200xAzCDx?358N·m
FτF zTATA?TB?MFτ?TA0.32?358N·m
FrFCy (a) FDy FQ?2387N
y2387 1432Fr?Fτtan20??869N
FQzA(N)CDBxFs2?TB0.52?1432N
4296 轴的受力简图如图（a）。 2．① FQ = 0时，
(b) (N)FQy86454 DBAC434xFQ?0 (c)
工程力学 第6章 习题
