【点评】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出S△
ACD=S△COD是解题关键．
23．（9分）（2020?潍坊）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【解答】解： （1）如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm， 由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2； （2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5， 设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24， ∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小， ∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元． 【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．
24．（12分）（2020?潍坊）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；
（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论； ②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）当CC'=
时，四边形MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°， ∵CN是∠ACC'的角平分线， ∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B， ∴∠D'E'C'=∠NCC'， ∴D'E'∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°， ∴△MCE'和△NCC'是等边三角形， ∴MC=CE'，NC=CC'， ∵E'C'=2
，
∵四边形MCND'是菱形， ∴CN=CM， ∴CC'=E'C'=
；
（2）①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'， 由（1）知，AC=BC，CD'=CE'， ∴△ACD'≌△BCE'， ∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'， 即：AD'=BE'， 综上可知：AD'=BE'． ②如图连接CP，
在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP， ∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=∴CP=3， ∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'=
=2
．
，
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．
25．（13分）（2020?潍坊）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t （1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解： （1）由题意可得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），D（2，3）， ∴BC=AD=2， ∵B（﹣1，0）， ∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分， ∴直线l过平行四边形的对称中心， ∵A、D关于对称轴对称， ∴抛物线对称轴为x=1， ∴E（3，0），
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