∵点B为的中点，
∴BD⊥AC， ①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上， ∴BD=×2×3=2， ∴OD=OB﹣BD=1， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DE=BD=1， ∴OE=2， 连接OD， ∵CE=∴边CD=
=
， =
；
如图②，BD=×2×3=4， 同理可得，OD=1，OE=1，DE=2， 连接OD， ∵CE=∴边CD=故选D．
=
=2=
，
=2
，
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。只要求填写最后结果，每小题全对得3分）
13．（3分）（2024?潍坊）计算：（1﹣
）÷
= x+1 ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题． 【解答】解：（1﹣===x+1，
故答案为：x+1．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
14．（3分）（2024?潍坊）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= （x+1）（x﹣2） ． 【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．
【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）． 故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因
）÷
式的方法叫做提公因式法．
15．（3分）（2024?潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： DF∥AC，或∠BFD=∠A ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A． 理由：∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC， ∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED， ∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）（2024?潍坊）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根， ∴△=b2﹣4ac≥0， 即：4﹣4k≥0，
=
=，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
17．（3分）（2024?潍坊）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n+3 个．
【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论． 【解答】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；
∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3， …，
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3． 故答案为：9n+3．
【点评】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
18．（3分）（2024?潍坊）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=BC．则矩形纸片ABCD的面积为 15 ．
【分析】根据翻折变化的性质和勾股定理可以求得BC和AB的长，然后根据矩形的面积公式即可解答本题． 【解答】解：设BE=a，则BC=3a， 由题意可得，
CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a， ∵B′D′=2， ∴CD′=3a﹣2， ∴CD=3a﹣2，
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2， ∴DB′=∴AB′=3a﹣2∵AB′2+AE2=B′E2， ∴
解得，a=或a=， 当a=时，BC=2， ∵B′D′=2，CB=CB′，
∴a=时不符合题意，舍去； 当a=时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3， ∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3=15， 故答案为：15．
【点评】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答．
三、解答题（共7小题，满分66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演
，
，
=
=2
，
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