dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？ 设
，则复合函数
的微分为：
由于
，故我们可以把复合函数的微分写成
的微分dy总可以用
，
由此可见，不论u是自变量还是中间变量， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知
，求dy
与du的乘积来表示，
解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则
通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数
的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？ 下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，
下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)
导数公式 微分公式 微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。
例题：设，求对x的导数
3
解答：根据微分形式的不变性
微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用. 例题：求
的近似值。
解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题
故其近似值为1.025(精确值为1.024695)
三、导数的应用
微分学中值定理
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：
设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也
就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，
差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少
，由于切线与割线
有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为是平行的，因此
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
成立。
如果函数使
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，
成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：
若一点c，使
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
成立。
，那末在(a,b)内至少有
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，
b)内至少有一点c，使成立。
例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端是函数的导数：
函数
，由罗尔定理
可知，在0与1之间至少有一点c，使 也就是：方程
，即
在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且
在0与1之间至少有一个实根
未定式问题
问题：什么样的式子称作未定式呢？
答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大
则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为
型
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？
下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。
罗彼塔(L'Hospital)法则
当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│
＞N)时，与都存在，≠0，且存在
则：=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
例题：求
解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的我们就可以利用上面所学的法则了。
型求解问题，因此
高等数学教材 - 图文
