5、复合函数
复合函数的定义：若y是u的函数：值的全部或部分在
及
，而u又是x的函数：
，且
的函数
的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数复合而成的函数，简称复合函数，记作
，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 例题：函数因为对于
与函数
是不能复合成一个函数的。
的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使
都没有定义。
6、初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下： 函数名称 指数函数 对数函数 a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点 b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义 域内单调增. a):不论x为何值,y总为正数; b):当x=0时,y=1. 函数的记号 函数的图形 函数的性质 令a=m/n 幂函数 部分。 三角函数 (正弦函数) 这里只写出了正弦函数 a为任意实数 这里只画出部分函数图形的一 a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数; b):当m,n都是奇数时,y是奇函数; c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义. a):正弦函数是以2π为周期的周期函数 b):正弦函数是奇函数且反三角数 (反正弦函数) 函这里只写出了反正弦函数 a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值. ⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：
7、双曲函数及反双曲函数
⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述) 函数的名称 函数的表达式 函数的图形 函数的性质 是初等函数。
双曲正弦 a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是奇函数； c)：在定义域内是单调增 双曲余弦 a)：其定义域为:(-∞,+∞)； b)：是偶函数； c)：其图像过点(0,1)； a)：其定义域为:(-∞,+∞)； 双曲正切 我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数的性质 shx与thx是奇函数，chx是偶函数 它们都不是周期函数 双曲函数也有和差公式：
都是周期函数 三角函数的性质 sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数 b)：是奇函数； c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；
⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数. a)：反双曲正弦函数 b)：反双曲余弦函数
其定义域为：(-∞,+∞)； 其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数 8、数列的极限
其定义域为：(-1,+1)；
我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
⑴、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.
注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=⑵、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
，它的定义域是全体正整数
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正6×2边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，… 当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。 ⑶、数列的极限：一般地，对于数列
来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么
n-1
小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切的极限，或者称数列
收敛于a .
不等式都成立，那末就称常数a是数列
记作：或
才能表达出
与a无限接近的意思。且
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式
定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
⑷、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列
极限为a的一个几何解释：将常数a及数列
在数轴上用它
们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区
间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。 ⑸、数列的有界性：对于数列列
，若存在着正数M，使得一切
是无界的。
都满足不等式│
│≤M，则称数
是有界的，若正数M不存在，则可说数列定理：若数列
收敛，那末数列
一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)，… 是有界的，但它是发散的。
9、函数的极限
前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，
n+1
若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?
下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! ⑴、函数的极限(分两种情况) a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义：设函数
，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适
合不等式 的一切x，所对应的函数值都满足不等式
那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：
数列的极限的定义 函数的极限的定义 存在函数存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正数X，对于适合总可找到一正整数N，对于n＞N的所有都满足一切x，都满足＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：当x→∞时的极限为A，记：。 。 ，函数的 从上表我们发现了什么 ？？试思考之
b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.
例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数
来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:
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