此时的链导公式为:
例题：设z=uv，u=cosx，v=sinx，求 解答：由全导数的链导公式得：
2
将u=cosx，v=sinx代入上式，得：
关于全导数的问题
全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值
在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。 二元函数极值的定义
如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：
f(x,y)≤f(x0,y0)
成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式： f(x,y)≥f(x0,y0) 成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0). 极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点. 二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是： 注意：此条件只是取得极值的必要条件。 凡是使
点，但驻点却不一定是极值点。
的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻
.
二元函数极值判定的方法
设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：
，那末
△=B-AC △＜0 △＞0 △=0 2f(x0,y0) A＜0时取极大值 A＞0时取极小值 非极值 不定
其中 例题：求 解答：设
的极值。
,则
，. .
解方程组 对于驻点(1,1)有
，得驻点(1,1),(0,0).
,故
2
2
.
B-AC=(-3)-66=-27＜0，A=6＞0 因此，
对于驻点(0,0)有
B-AC=(-3)-00=9＞0 因此，
多元函数的最大、最小值问题
我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同
在点(0,0)不取得极值.
2
2
.
在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.
,故
样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点；
c)：结合实际意义判定最大、最小值.
例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。 解答：a)：先建立函数关系,确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方
最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:
b)：求驻点
,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知
z=-1
c)：结合实际意义判定最大、最小值
由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数
仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1). 从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数 在约束条件
，
3x+4y-z=26
下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。
八、多元函数的积分学
二重积分的概念及性质
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点
，作乘积
；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且
d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分二重积分的性质
必定存在。
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中σ是区域(σ)的面积.
二重积分的计算法
高等数学教材
