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高等数学教材

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数f(x)在(a,b]上的广义积分,

存在,则极限叫做函

仍然记作:.

即: 这时也说广义积分

=,

发散。

收敛.如果上述极限不存在,就说广义积分

.取ε>0,如果极限

类似地,设f(x)在[a,b)上连续,而

则定义 否则就说广义积分

发散。

=

存在,

又,设f(x)在[a,b]上除点c(a

都收敛,

则定义: 否则就说广义积分

发散。

.如果两个广义积分和

=+.

例题:计算广义积分(a>0)

解答:因为可得:

,所以x=a为被积函数的无穷间断点,于是我们有上面所学得公式

六、空间解析几何

空间直角坐标系

空间点的直角坐标系

为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。

过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。(如下图所示)

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后,就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。

例:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标。(如下图所示)

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).

这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.

例:如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,则y=z=0;如果M是原点, 则x=y=z=0,等。 空间两点间的距离

设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点,为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式:

例题:证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答:由两点间距离公式得:

由于,所以△ABC是一等腰三角形 方向余弦与方向数

解析几何中除了两点间的距离外,还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。

方向角与方向余弦 设有空间两点

,若以P1为始点,另一点P2为终点的线段称为有向线段.

记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别

记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段 关于方向角的问题

的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

若有向线段的方向确定了,则其方向角也是唯一确定的。

方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。

设有空间两点,则其方向余弦可表示为:

从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式:

注意:从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数

方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向,但是,如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位),那末就不一定需要知道方向余弦,而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A,B,C称为空间直线的方向数,记作:{A,B,C}.即:

据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式:

,,

其中:根式取正负号分别得到两组方向余弦,它们代表两个相反的方向。 关于方向数的问题

空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 两直线的夹角

设L1与L2是空间的任意两条直线,它们可能相交,也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段

.则线段

的夹角称为此两直线L1与L2的夹角.

若知道L1与L2的方向余弦则有公式为:

其中:θ为两直线的夹角。 若知道L1与L2的方向数则有公式为:

两直线平行、垂直的条件

两直线平行的充分必要条件为:

两直线垂直的充分必要条件为:

平面与空间直线

平面及其方程

我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。

设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A+B+C≠0,则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为:

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