江苏教育出版社时代学习报
主办单位： 江苏省教育学会中学数学教学专业委员会
第六届时代学习报数学文化节
八年级第一轮活动书面解答题(2010年12月13日15：00～16：30)
(时间：90分钟．总分：l50分，第13，14，18题每题10分，其余各题，每题8分)
数学之史
1．贾宪三角 完全平方式(a?b)2?a2?2ab?b2中，右式各
项系数依次为l，2，1．那么，(a?b)3,(a?b)4,?,(a?b)n.展开后的各项系数有什么规律呢?1 1世纪中叶，我国数学家贾宪给出了直到(a?b)6的系数表(如图1)．贾宪三角中有很多规律．请写出
两条：
(1) ； (2) ．
2．无字证明 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理．勾股定理的证明方法很多，图2是古印度的一种证明方法：过正方形ADEC的中心0，作两条互相垂直的直线，将它分成4份．如果这两条直线作得恰当，所分成的四部分和小正方形恰好能拼成大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，堪称“无字的证明”!若BC=6，AC=8，则EF= ．
数学之美
3．拼拼凑凑 规律排列的图形，往往给人以美感．如图3的桌布，可以看作相同的平面花瓶(如图中粗线所示)铺砌而成．如果圆的直径为10厘米，那么一个花瓶的面积是 平方厘米．
4．月牙奥秘 如图4，三个半圆形成两个月牙形，古希腊几何学
家希波克拉蒂发现了计算其面积的简便方法．相信你也能发现其中的奥秘．如果AC=6，BC=8，那么图中阴影部分的面积是 ．
5．数字宝塔 在此数字宝塔中，从上往下数，2010在第 层等式的 边(填“左”或“右”)．
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数学之思
6．位置确定 平面是二维的，因此，确定平面上一个点的位置，需要两个数据．如图5，小明依次用(0，0)，(3，0)，(1，2)表示0，A，曰三点的位置．根据他的想法，点c可表示为 ．
7．等宽三角形 圆在任何方向上的宽度都相同(如图6①)．我们把保持多个方向等宽的 曲线称为等宽曲线．等宽曲线还有很多，图6②的莱洛三角形就是其中的一个，它由三条相同的圆弧围成．如：弧BC的圆心为A，∠BAC=60°．若AB=1厘米，则莱洛三角形的周长是 ，面积是 ．
8．变中不变 将2 011个边长都为1厘米的正方形按图7摆放，点A1,A2,?,A2011分别为正方形的中心，则2 01 1个这样的正方形重叠后，阴影部分的面积为 平方
厘米(同一正方形中的两个阴影部分互相不重叠)．
9．转移直角 如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD垂直相交于0，MN是梯形ABCD的中位线，若4c?2MN，则∠DBC= 度．
10．乱中取胜 图9是边长为l厘米的正方形拼成的边长为2厘米的正方形，共有9个交点．则满足(1)以其中3个交点为顶点；(2)面积是1平方厘米的直角三角形有 个．
11．边的集结 如图10，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，设MN=x，BN=n，AM=m，则x，m，n为边的三角形的形状为( )．
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)随x，m，n的值而定
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数学之用
12．长宽之比 打印用纸有很多规格，下面是A系列几种打印纸的规格．A4纸：21x29．7 (表示长29．7厘米，宽21厘米，下同)，A5纸：14．8x21，A6纸：10．5x14．8．这表明，A4纸对折得到A5纸，A5纸对折得到A6纸，而且它们形状相同．根据这些规律，不难发现，它们的长与宽的比近似于一个无理数，这个无理数是 ．
13．蔡勒公式 2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖．该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖． 2010年8月19日是星期几?可用蔡勒(德国数学家)公式：
cy26(m?1)W?[]?2c?y?[]?[]?d?1计算．
4410 其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，C——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是l月或2月，应视为上一年的13月或l4月，即3≤m≤14)，d——日期数，[a]——表示取数a的整数部分． (1)利用蔡勒公式得出2010年8月19日是星期 ； (2)利用蔡勒公式推得2011年8月有 个星期二．
14．阶梯电价 根据2010年10月国家发改委《关于居民生活用电实行阶梯电价的指导意见(征求意见稿)》，阶梯电价被分成三档：基本生活用电、正常生活用电、较高生活质量用电．为此设计了两个电量(x度)划分及调价方案(原电价为0.53元/度)．
方案一 x≤110时，价格保持不变；110
方案二 x≤140时，每度涨价l分；l40< x <270时，超出l40度的部分每度涨价5分；x >270时，超出270度的部分每度涨价0.2元．
(1)当用电量x>210度时，用x表示出以方案一的计价方式结算出的电费y= (元)； (2)某用户某月用电量是230度，实行阶梯电价后，
①若以方案一的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交 元电费； ②若以方案二的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交 元电费．
15．打开数学之门 《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》第10题的大意是：如图ll，假设推开双门(AD和BC)，门边缘点D，C距门槛AB为1尺，且双门间隙CD为2寸，则门宽AB是 ．(1尺=10寸，l丈=10尺)
16．线路最短 如图12，A，B，C是3个村镇，之间有公路相连．P，Q是两个加工厂，也有公路相连现欲在公路AB，AC上分别建一个公交站R，S，并使封闭环线四边形PRSQ周长最短，请画出R，S的位置．(保留作图痕迹，不必说明理由)
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17．城市之间某地图出版社在绘制地图前，对某省A，B，C，D四个城市之间的直线里程进行了测算，得到里程表表l．根据表l，可推算出B城与D城之间的直线里程为 千米．(A，B，C，D视作在同一平面内)
数学之语(题中方格不够300个，请接着写下去)
18．美的欣赏请以《轴对称展示自身的美》为题，写一篇短文，字数在300字左右，体裁不限．
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时代学习报第六届数学文化节
八年级第一轮活动书面解答题参考答案和评分标准
1．答案不唯一，表达正确即可，如图1中三角形左右两条边上的数都为l，自第二层起，各层上一个数都等于其肩上两数之和；三角形每一行的数字都是左右对称的??
2．7． 3．100．4．24．
5．到第n层，共有3+5+?+(2n+1)=n(n+2)个数，当n=44时，n(n+2)=44×46=2 024． n=43时，n(n+2)=43×45=1 935． 所以2010在第44层，2010>1935+44． 所以在44层等式的右边． 6．(3，2)．
7．周长是?厘米，面积是(??米．
8．502.5．每个小正方形中阴影部分面积都等于1个小正方形面积的
17．75．由原题中表l知：AB=100，AC=80，AD=125，BC=60，CD=45
且推得
16．如图4，分别作P关于AB的对称点P’，Q关于Ac的对称点Q’，连接P’Q’分别交AB于R，交A C于S．则四边形PRSQ的周长最短．
则门宽AB为101寸，即1丈1寸．
(2)①9；(3／3)②5.9．(3／3) 15．1丈1寸或l01寸．如图3，设AD为x寸，作DF⊥AB于F，则AF为(x一l)寸，DF=10寸，由题意知102?(x?1)?x2,x?50.5.
3)平方厘211。即，则2 01144个这样的小正方形有2010个重叠部分，
1故阴影部分的面积和为?2010?
4502.5(平方厘米)．
9．45．提示：如图2，过D作DE∥AC交BC的延长线于E
10．24．提示：以直角顶点分类(分别以A，
B，E为直角顶点)并考虑其轴对称性．
AB2?AC2?BC2，故∠ACB=90°．由
AC=80，CD=45，AD=125知，A，C，D必在同一直线上，且相互位置关系如图5．故∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=60，CD=45，则BD=75(千米)．
11.B. 12.2. 13．(1)四；(2)5．
14．(1)y?0.73x?37,x?210；(4分)
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第六届时代学习报数学文化节(八年级第一轮试题及答案)
